Question

如圖，三棱柱ABC-A₁B₁C₁的側(cè)棱AA₁⊥底面ABC，∠ACB=90°，E是棱CC₁上中點(diǎn)，F(xiàn)是AB中點(diǎn)，AC=1，BC=2，AA₁=4．
（1）求證：CF∥平面AEB₁；
（2）求三棱錐C-AB₁E的體積．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與平面平行的判定,棱柱、棱錐、棱臺(tái)的體積

專題：空間位置關(guān)系與距離

分析：（1）取AB₁的中點(diǎn)G，聯(lián)結(jié)EG，F(xiàn)G，由已知條件推導(dǎo)出四邊形FGEC是平行四邊形，由此能證明CF∥平面AB₁E．
（2）由VC-AB1E=VB1-ACE，利用等積法能求出三棱錐C-AB₁E的體積．

解答： （1）證明：取AB₁的中點(diǎn)G，聯(lián)結(jié)EG，F(xiàn)G
∵F，G分別是棱AB、AB₁的中點(diǎn)，
∴FG∥BB1，F(xiàn)G=

1

2

BB1
又∵FG∥EC，EC=

1

2

CC1，F(xiàn)G=EC
∴四邊形FGEC是平行四邊形，
∴CF∥EG，
∵CF不包含于平面AB₁E，EG?平面AB₁E，
∴CF∥平面AB₁E．
（2）解：∵AA₁⊥底面ABC，∴CC₁⊥底面ABC，∴CC₁⊥CB，
又∠ACB=90°，∴BC⊥AC，
∴BC⊥平面ACC₁A₁，即BC⊥面ACE，
∴點(diǎn)B到平面AEB₁的距離為BC=2，
又∵BB₁∥平面ACE，∴B₁到平面ACE的距離等于點(diǎn)B到平面ACE的距離，即為2，
∴VC-AB1E=VB1-ACE=

1

3

×

1

2

×1×2×2=

2

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查直線與平面平行的證明，考查三棱錐的體積的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．