15.已知:f(x)=2x2+bx+c.
(1)若f(x)在(-∞,1]上單調(diào)遞減,求b的取值范圍;
(2)對(duì)任意實(shí)數(shù)x∈[-1,1],f(x)的最大值與最小值之差為g(b),求g(b).
分析 (1)f(x)在(-∞,1]上單調(diào)遞減,則對(duì)稱(chēng)軸-14b≥1.
(2)討論f(x)=2x2+bx+c在x∈[-1,1]的最大值與最小值分別為M、N;根據(jù)對(duì)稱(chēng)軸位置的不同,分別求出g(b)最小值.
解答 解:(1)f(x)=2x2+bx+c=2(x+4)2+c-28
因?yàn)閒(x)在(-∞,-14b)上為減函數(shù),∴-14b≥1,得b≤-4.
(2)設(shè)f(x)=2x2+bx+c在x∈[-1,1]的最大值與最小值分別為M、N.
①當(dāng)-14b≥1 時(shí),即b≤-4時(shí),g(b)=f(-1)-f(1)=-2b.
②當(dāng)-14b≤−1 時(shí),即b≥4時(shí),g(b)=f(1)-f(-1)=2b.
③當(dāng)-1<−14b<1 時(shí),即-1<b<4時(shí),
M=max{f(-1),f(1)}=2+|b|+c,
N=c-182
g(b)=M-N=182+|b|+2,
故g(b)={−2b,b≤−4182+|b|+2,−4<b<42b,b≥4.
點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了一元二次函數(shù)的基本性質(zhì)與圖形特征,考查了分類(lèi)討論思想,屬中等題.