Question

（本小題滿分12分）

已知函數（，實數，為常數）．

（Ⅰ）若，求在處的切線方程；

（Ⅱ）若，討論函數的單調性．

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）;

（Ⅱ）當時，函數的單調遞減區(qū)間為，單調遞增區(qū)間為；當時，函數的單調遞增區(qū)間為，，單調遞減區(qū)間為；當時，函數的單調遞增區(qū)間為；當時，函數的單調遞增區(qū)間為，，單調遞減區(qū)間為．

【解析】（1）把，代入，可求出，當，由點斜式方程寫出曲線的切線方程，再化為一般式；（2）把代入得， ，注意定義域，令，得，．需討論與0和1的大小得或的的范圍，就是原函數的增區(qū)間或減區(qū)間.

（Ⅰ）因為，所以函數，

又，………………………………………………2分

所以

即在處的切線方程為…………………………………5分

（Ⅱ）因為，所以，則

         

       令，得，．……………………………………………7分

（1）當，即時，函數的單調遞減區(qū)間為，

單調遞增區(qū)間為；…………………………………………8分

      （2）當，即時，，的變化情況如下表：

          所以，函數的單調遞增區(qū)間為，，

單調遞減區(qū)間為；…………………………9分

（3）當，即時，函數的單調遞增區(qū)間為；………10分

     （4）當，即時，，的變化情況如下表：

 

     

 所以函數的單調遞增區(qū)間為，，單調遞減區(qū)間為；……………………………………11分

       綜上，當時，函數的單調遞減區(qū)間為，單調遞增區(qū)間為；當時，函數的單調遞增區(qū)間為，，單調遞減區(qū)間為；當時，函數的單調遞增區(qū)間為；當時，函數的單調遞增區(qū)間為，，單調遞減區(qū)間為．…………………………12分