Question

已知f（x）=lnx，g（x）=

1

2

ax²+bx（a≠0），h（x）=f（x）-g（x）
（Ⅰ）當a=4，b=2時，求h（x）的極大值點；
（Ⅱ）設(shè)函數(shù)f（x）的圖象C₁與函數(shù)g（x）的圖象C₂交于P、Q兩點，過線段PQ的中點做x軸的垂線分別交C₁、C₂于點M、N，證明：C₁在點M處的切線與C₂在點N處的切線不平行．

Answer 1

考點：利用導數(shù)研究函數(shù)的極值,利用導數(shù)研究曲線上某點切線方程

專題：綜合題,導數(shù)的綜合應用

分析：（Ⅰ）當a=4，b=2時，求導數(shù)，確定函數(shù)的單調(diào)性，即可求h（x）的極大值點；
（Ⅱ）設(shè)出點的坐標，寫出直線的方程，根據(jù)直線平行，得到斜率之間的關(guān)系，構(gòu)造新函數(shù)，對新函數(shù)求導，得到兩個結(jié)論是矛盾的．

解答： （I）解：h（x）=lnx-2x²-2x
∴h′（x）=

-4x2-2x+1

x

…（2分）
令h′（x）=0，則4x²+2x-1=0，
解出x₁=

- 5 -1

4

，x₂=

5 -1

4

 …（3分）
∴h（x）在（0，

5 -1

4

）上為增函數(shù)，在（

5 -1

4

，+∞）上為減函數(shù)…（5分）
∴h（x）的極大值點為

5 -1

4

…（6分）
（II）證明：設(shè)點P（x₁，y₁）Q（x₂，y₂）
則PQ的中點R的橫坐標

x1+x2

2

C₁在點M處的切線的斜率為k₁=

2

x1+x2

C₂在點N處的切線的斜率為k₂=

x1+x2

2

+b
假設(shè)C₁點M處的切線與C₂在點N處的切線平行，則斜率相等
即ln

x2

x1

=

2( x2 x1 -1)

1+ x2 x1

設(shè)u=

x2

x1

＞1，
則lnu=

2(u-1)

1+u

①
令r（u）=lnu-

2(u-1)

1+u

（u＞1）
則r′（u）=

(u-1)2

u(1+u)2

∵u＞1，r′（u）＞0
∴r（u）單調(diào)遞增，
故r（u）＞r（1）=0，lnu＞

2(u-1)

1+u

②
∵①與②矛盾，
∴假設(shè)不成立，故C₁點M處的切線與C₂在點N處的切線不平行．

點評：本題考查函數(shù)的導函數(shù)的應用，本題是一個壓軸題目，這個題目可以出現(xiàn)在高考卷的最后兩個題目的位是一個比較困難的題目．