已知頂點(diǎn)為原點(diǎn)O的拋物線的焦點(diǎn)與橢圓的右焦點(diǎn)重合

與在第一和第四象限的交點(diǎn)分別為A、B．

(1) 若△AOB是邊長(zhǎng)為的正三角形，求拋物線的方程；

(2)若，求橢圓的離心率；

(3) 點(diǎn)為橢圓上的任一點(diǎn)，若直線、分別與軸交于點(diǎn)和，證明：

．


 解：（1）設(shè)橢圓的右焦點(diǎn)為，依題意得拋物線的方程為

 ∵△是邊長(zhǎng)為的正三角形，

∴點(diǎn)A的坐標(biāo)是，                                      

代入拋物線的方程解得，

故所求拋物線的方程為                                  

（2）∵, ∴ 點(diǎn)的橫坐標(biāo)是

代入橢圓方程解得，即點(diǎn)的坐標(biāo)是             

∵ 點(diǎn)在拋物線上，

∴，                                   

將代入上式整理得：，

即，解得                             

∵ ，故所求橢圓的離心率。             

（3）證明：設(shè)，代入橢圓方程得

                                     

而直線的方程為       

令得。                                

在中，以代換得         

∴

                           …


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的體積等于（   ）

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設(shè)的三邊長(zhǎng)分別為a、b、c，的面積為S，內(nèi)切圓半徑為r，則r＝；類比這個(gè)結(jié)論可知：四面體P－ABC的四個(gè)面的面積分別為S1、S2、S3、S4，內(nèi)切球的半徑為r，四面體P－ABC的體積為V，則r＝(　　)

.                 .    

.                 .

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