Question

已知數(shù)列{a_n}，其前n項(xiàng)和為S_n，對任意n∈N^*都有：S_n=ma_n+1-m（m∈R，m≠0且m≠1）．
（1）求證：{a_n}是等比數(shù)列；
（2）若S₃，S₇，S₅，構(gòu)成等差數(shù)列，求實(shí)數(shù)m的值；
（3）求證：對任意大于1的實(shí)數(shù)m，S₁+S₂+S₃+…+S_n，S_3n+1+S_3n+2+S_3n+3+…+S_4n，S_7n+1+S_7n+2+S_7n+3+…+S_8n不能構(gòu)成等差數(shù)列．

Answer 1

分析：（1）由公式an=

a1，n=1 Sn-Sn-1，n≥2

，利用題設(shè)條件能夠?qū)С鯽_n=ma_n-ma_n-1，由此能夠證明{a_n}是等比數(shù)列．
（2）由S₃，S₇，S₅構(gòu)成等差數(shù)列，知：2S₇=S₃+S₅，所以2a₇=a₃+a₅，由此能求出實(shí)數(shù)m的值．
（3）假設(shè)S₁+S₂+S₃+…+S_n，S_3n+1+S_3n+2+S_3n+3+…+S_4n，S_7n+1+S_7n+2+S_7n+3+…+S_8n構(gòu)成等差數(shù)列，結(jié)合題設(shè)條件，由等差數(shù)列的性質(zhì)能夠推導(dǎo)出2q³ⁿS_n=q⁷ⁿS_n+S_n，因?yàn)榇朔匠虩o解所以假設(shè)錯(cuò)誤，由此能夠證明對任意大于1的實(shí)數(shù)m，S₁+S₂+S₃+…+S_n，S_3n+1+S_3n+2+S_3n+3+…+S_4n，S_7n+1+S_7n+2+S_7n+3+…+S_8n不能構(gòu)成等差數(shù)列．

解答：解：（1）當(dāng)n=1時(shí)，a₁=S₁=ma₁+1-m，
又m≠0，且m≠1，故a₁=1．
當(dāng)n≥2時(shí)，S_n-1=ma_n-1+1-m，
故a_n=ma_n-ma_n-1，即（m-1）a_n=ma_n-1，
也即

an

an-1

=

m

m-1

≠0，
所以，{a_n}是以1為首項(xiàng)，

m

m-1

為公比的等比數(shù)列；
（2）由S₃，S₇，S₅構(gòu)成等差數(shù)列，知：2S₇=S₃+S₅，
即2（ma₇+1-m）=（ma₃+1-m）+（ma₅+1-m），又m≠0，化簡得：2a₇=a₃+a₅，
令q=

m

m-1

，則2q⁴-q²-1=0，得q²=1或q2=-

1

2

（舍），
即q=1（舍），q=-1，
由

m

m-1

=-1，解得，m=

1

2

．
（3）假設(shè)S₁+S₂+S₃+…+S_n，S_3n+1+S_3n+2+S_3n+3+…+S_4n，
S_7n+1+S_7n+2+S_7n+3+…+S_8n構(gòu)成等差數(shù)列，
則2（S_3n+1+S_3n+2+S_3n+3+…+S_4n）=（S₁+S₂+S₃+…+S_n）+（S_7n+1+S_7n+2+S_7n+3+…+S_8n）
即2（ma_3n+1+m-1+ma_3n-2+m-1+…+ma_4n+m-1）
=（ma₁+m-1+ma₂+m-1+…+ma_n+m-1）+（ma_7n+1+m-1+ma_7n+2+m-1+…+ma_8n+m-1），
化簡得2m（S_4n-S_3n）=mS_n+m（S_8n-S_7n），
又知(S4n-S3n)=q3nSn，(S8n-S7n)=q7nSn，
可得2q³ⁿS_n=q⁷ⁿS_n+S_n，（*）
而m＞1，所以q＞1，S_n＞0，
且1+q⁷ⁿ＞2

q7n

＞2

q6n

=2q³ⁿ，故（*）無解
所以假設(shè)錯(cuò)誤，
故對任意大于1的實(shí)數(shù)m，
S₁+S₂+S₃+…+S_n，S_3n+1+S_3n+2+S_3n+3+…+S_4n，S_7n+1+S_7n+2+S_7n+3+…+S_8n不能構(gòu)成等差數(shù)列．

點(diǎn)評：本題考查等比數(shù)列的證明，實(shí)數(shù)值的求法，等差數(shù)列的證明，考查數(shù)列知識，考查化歸與轉(zhuǎn)化、分類與整合的數(shù)學(xué)思想，培養(yǎng)學(xué)生的抽象概括能力、推理論證能力、運(yùn)算求解能力和創(chuàng)新意識．