Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，設(shè)點(diǎn)（），直線(xiàn):，點(diǎn)在直線(xiàn)上移動(dòng)，是線(xiàn)段與軸的交點(diǎn), 過(guò)、分別作直線(xiàn)、，使， .

(1)求動(dòng)點(diǎn)的軌跡的方程；
（2）在直線(xiàn)上任取一點(diǎn)做曲線(xiàn)的兩條切線(xiàn)，設(shè)切點(diǎn)為、，求證：直線(xiàn)恒過(guò)一定點(diǎn)；
(3)對(duì)（2）求證：當(dāng)直線(xiàn)的斜率存在時(shí)，直線(xiàn)的斜率的倒數(shù)成等差數(shù)列.

Answer 1

(1)．（2）利用導(dǎo)數(shù)法求出直線(xiàn)AB的方程，然后再利用直線(xiàn)橫過(guò)定點(diǎn)知識(shí)解決.（3）用坐標(biāo)表示出斜率，然后再利用等差中項(xiàng)的知識(shí)證明即可

試題分析：(1)依題意知，點(diǎn)是線(xiàn)段的中點(diǎn)，且⊥，
∴是線(xiàn)段的垂直平分線(xiàn)．∴．
故動(dòng)點(diǎn)的軌跡是以為焦點(diǎn)，為準(zhǔn)線(xiàn)的拋物線(xiàn)，其方程為：．
（2）設(shè)，兩切點(diǎn)為， 
由得，求導(dǎo)得．
∴兩條切線(xiàn)方程為 ① 
②                 
對(duì)于方程①，代入點(diǎn)得，，又
∴整理得：
同理對(duì)方程②有
即為方程的兩根.
∴  ③                            
設(shè)直線(xiàn)的斜率為，
所以直線(xiàn)的方程為，展開(kāi)得：
，代入③得：
∴直線(xiàn)恒過(guò)定點(diǎn).                            
(3) 證明：由（2）的結(jié)論，設(shè)， ， 
且有，  
∴                  
∴
=  
又∵，所以
即直線(xiàn)的斜率倒數(shù)成等差數(shù)列.  
點(diǎn)評(píng)：解答拋物線(xiàn)綜合題時(shí)，應(yīng)根據(jù)其幾何特征熟練的轉(zhuǎn)化為數(shù)量關(guān)系（如方程、函數(shù)），再結(jié)合代數(shù)方法解答，這就要學(xué)生在解決問(wèn)題時(shí)要充分利用數(shù)形結(jié)合、設(shè)而不求、弦長(zhǎng)公式及韋達(dá)定理綜合思考，重視對(duì)稱(chēng)思想、函數(shù)與方程思想、等價(jià)轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用