Question

（08年廣東佛山質(zhì)檢理）拋物線的準(zhǔn)線的方程為，該拋物線上的每個(gè)點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離都與到定點(diǎn)N的距離相等，圓N是以N為圓心，同時(shí)與直線 相切的圓，

（Ⅰ）求定點(diǎn)N的坐標(biāo)；

（Ⅱ）是否存在一條直線同時(shí)滿足下列條件：

① 分別與直線交于A、B兩點(diǎn)，且AB中點(diǎn)為；

② 被圓N截得的弦長為．

Answer 1

解析:（1）因?yàn)閽佄锞�的準(zhǔn)線的方程為

所以，根據(jù)拋物線的定義可知點(diǎn)N是拋物線的焦點(diǎn)，             -----------2分

所以定點(diǎn)N的坐標(biāo)為                              ----------------------------3分

（2）假設(shè)存在直線滿足兩個(gè)條件，顯然斜率存在，                -----------4分

設(shè)的方程為，                   ------------------------5分

以N為圓心，同時(shí)與直線 相切的圓N的半徑為， ----6分

方法1：因?yàn)?IMG height=19 src='http://thumb.1010pic.com/pic1/img/20090318/20090318162445004.gif' width=9>被圓N截得的弦長為2，所以圓心到直線的距離等于1，   -------7分

即，解得，                -------------------------------8分

當(dāng)時(shí)，顯然不合AB中點(diǎn)為的條件，矛盾！            --------------9分

當(dāng)時(shí)，的方程為               ----------------------------10分

由，解得點(diǎn)A坐標(biāo)為，               ------------------11分

由，解得點(diǎn)B坐標(biāo)為，          ------------------12分

顯然AB中點(diǎn)不是，矛盾！                ----------------------------------13分

所以不存在滿足條件的直線．                 ------------------------------------14分

方法2：由，解得點(diǎn)A坐標(biāo)為，      ------7分

由，解得點(diǎn)B坐標(biāo)為，        ------------8分

因?yàn)?I>AB中點(diǎn)為，所以，解得，     ---------10分

所以的方程為，

圓心N到直線的距離，                   -------------------------------11分

因?yàn)?IMG height=19 src='http://thumb.1010pic.com/pic1/img/20090318/20090318162445004.gif' width=9>被圓N截得的弦長為2，所以圓心到直線的距離等于1，矛盾！   ----13分

所以不存在滿足條件的直線．               -------------------------------------14分

方法3：假設(shè)A點(diǎn)的坐標(biāo)為，

因?yàn)?I>AB中點(diǎn)為，所以B點(diǎn)的坐標(biāo)為，         -------------8分

又點(diǎn)B 在直線上，所以，                ----------------------------9分

所以A點(diǎn)的坐標(biāo)為，直線的斜率為4，

所以的方程為，                    -----------------------------10分

圓心N到直線的距離，                     -----------------------------11分

因?yàn)?IMG height=19 src='http://thumb.1010pic.com/pic1/img/20090318/20090318162445004.gif' width=9>被圓N截得的弦長為2，所以圓心到直線的距離等于1，矛盾！ ---------13分

所以不存在滿足條件的直線．              ----------------------------------------14分