如圖,直四棱柱ABCD-A1B1C1D1的高為3,底面是邊長為4且∠DAB=60°的菱形,A1C1∩B1D1=O1,E是O1A的中點.

(Ⅰ)求二面角O1-BC-D的大��;

(Ⅱ)求點E到平面O1BC的距離.

答案:解法—:(Ⅰ)過AC、BD的交點O作OF⊥BC于F,連接O1F,

∵OO1⊥面AC,∴BC⊥O1F,∴∠O1FO是二面角O1-BC-D的平面角,

∵OB=2,∠OBF=60°,∴OF=.在Rt△O1OF在tan∠O1FO=,

∴∠O1FO=60°即二面角O1-BC-D為60° 

(Ⅱ)在△O1AC中,OE是△O1AC的中位線,∴OE∥O1C,∴OE∥面O1BC,

∵BC⊥面O1OF,∴面O1BC⊥面O1OF,交線O1F.過O作OH⊥O1F于H,則OH是點O到面O1BC的距離,∴OH=,∴點E到面O1BC的距離等于

解法二:(Ⅰ)連AC、DB交于O,∵OO1⊥平面AC,∴OO1⊥OA,OO1⊥OB,又OA⊥OB,

建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系(如圖)

∵底面ABCD是邊長為4,∠DAB=60°的菱形,∴OA=,OB=2,

則A(,0,0),B(0,2,0),C(-,0,0),O1(0,0,3)設(shè)平面O1BC的法向量為n1=(x,y,z),

n1,n1,∴則z=2,則x=,y=3,

n1=(,3,2),而平面AC的法向量n2=(0,0,3) 

∴cos〈n1,n2〉=

設(shè)O1-BC-D的平面角為α,∴cosα=,∴α=60°.故二面角O1-BC-D為60°.

(Ⅱ)設(shè)點E到平面O1BC的距離為d,∵E是O1A的中點,∴=(),

則d=

∴點E到面O1BC的距離等于

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

精英家教網(wǎng)如圖:直三棱柱ABC-A′B′C′的體積為V,點P、Q分別在側(cè)棱AA′和CC′上,AP=C′Q,則四棱錐B-APQC的體積為
 

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

如圖,直三棱柱ABC-A1B1C1中,AB⊥BC,D為AC的中點,AA1=AB=2.
(1)求證:AB1∥平面BC1D;
(2)若四棱錐B-DAA1C1的體積為2,求二面角C-BC1-D的正切值.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

如圖,直四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD是菱形,∠ABC=45°,其側(cè)面展開圖是邊長為8的正方形.E、F分別是側(cè)棱AA1、CC1上的動點,AE+CF=8.
(1)證明:BD⊥EF;
(2)當(dāng)CF=
14
CC1時,求面BEF與底面ABCD所成二面角的正弦值;
(3)多面體AE-BCFB1的體積V是否為常數(shù)?若是,求這個常數(shù),若不是,求V的取值范圍.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2012•房山區(qū)二模)如圖,直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,底面ABCD是菱形,且∠ABC=60°,E為棱CD的中點.
(Ⅰ)求證:A1C∥平面AED1;
(Ⅱ)求證:平面AED1⊥平面CDD1

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

精英家教網(wǎng)如圖,在四棱柱ABC-A1B1C1D1中,AA1⊥底面ABCD,底面ABCD是菱形,∠DAB=60°,AA1=4,AB=2,點E在棱CC1上,點E是棱C1C上一點.
(1)求證:無論E在任何位置,都有A1E⊥BD
(2)試確定點E的位置,使得A1-BD-E為直二面角,并說明理由.
(3)試確定點E的位置,使得四面體A1-BDE體積最大.并求出體積的最大值.

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊答案