(Ⅰ)求二面角O1-BC-D的大��;
(Ⅱ)求點E到平面O1BC的距離.
答案:解法—:(Ⅰ)過AC、BD的交點O作OF⊥BC于F,連接O1F,
∵OO1⊥面AC,∴BC⊥O1F,∴∠O1FO是二面角O1-BC-D的平面角,
∵OB=2,∠OBF=60°,∴OF=.在Rt△O1OF在tan∠O1FO=
,
∴∠O1FO=60°即二面角O1-BC-D為60°
(Ⅱ)在△O1AC中,OE是△O1AC的中位線,∴OE∥O1C,∴OE∥面O1BC,
∵BC⊥面O1OF,∴面O1BC⊥面O1OF,交線O1F.過O作OH⊥O1F于H,則OH是點O到面O1BC的距離,∴OH=,∴點E到面O1BC的距離等于
.
解法二:(Ⅰ)連AC、DB交于O,∵OO1⊥平面AC,∴OO1⊥OA,OO1⊥OB,又OA⊥OB,
建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系(如圖)
∵底面ABCD是邊長為4,∠DAB=60°的菱形,∴OA=,OB=2,
則A(,0,0),B(0,2,0),C(-
,0,0),O1(0,0,3)設(shè)平面O1BC的法向量為n1=(x,y,z),
則n1⊥,n1⊥
,∴
則z=2,則x=
,y=3,
∴n1=(,3,2),而平面AC的法向量n2=(0,0,3)
∴cos〈n1,n2〉=
設(shè)O1-BC-D的平面角為α,∴cosα=,∴α=60°.故二面角O1-BC-D為60°.
(Ⅱ)設(shè)點E到平面O1BC的距離為d,∵E是O1A的中點,∴=(
),
則d=
∴點E到面O1BC的距離等于
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