Question

長春市某中學(xué)高三（1）班40名學(xué)生在一次數(shù)學(xué)測驗(yàn)中，成績?nèi)�部介�?00分與150分之間，將測驗(yàn)成績按如下方式分成五組：第一組[100，110）；第二組[110，120），…，第五組[140，150]．右圖是按上述分組方法得到的頻率分布直方圖．
（I）若成績在130分以上為優(yōu)秀，求該班在這次測驗(yàn)中成績優(yōu)秀的人數(shù)；
（II）估計(jì)該班在這次測驗(yàn)中的平均分（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作代表）；
（III）該班有3名學(xué)生因故未參加考試，如果他們參加考試，且彼此之間的成績不受影響，以已知樣本數(shù)據(jù)的頻率作為這3名同學(xué)成績的概率．試求這3名學(xué)生中至少有1人成績不低于130分的概率．

Answer 1

分析：（I）由直方圖知，成績在[130，150]內(nèi)的人數(shù)為：40×0.2+40×0.1，運(yùn)算求得結(jié)果．
（II）設(shè)該班在這次測驗(yàn)中的平均分為

.

x

，則

.

x

=105×0.05+115×0.25+125×0.4+135×0.2+145×0.1，運(yùn)算求得結(jié)果．
（III）每1名學(xué)生成績不低于130的概率為  p=0.3，這3名學(xué)生中至少有1人成績不低于130分的概率為1-C₃⁰×0.7³=，
 運(yùn)算求得結(jié)果．

解答：解：（I）由直方圖知，成績在[130，150]內(nèi)的人數(shù)為：40×0.2+40×0.1=12 （人）
所以該班成績優(yōu)秀的人數(shù)為12人．
（II）設(shè)該班在這次測驗(yàn)中的平均分為

.

x

，
則

.

x

=105×0.05+115×0.25+125×0.4+135×0.2+145×0.1=125.5（分）．
（III）每1名學(xué)生成績不低于130的概率為  p=0.2+0.1=0.3．
設(shè)這3名學(xué)生中至少有1人成績不低于130分為事件A，其對立事件為：這3名學(xué)生成績?nèi)�部低�?30分，
P（A）=1-C₃⁰×0.7³=1-0.343=0.657．

點(diǎn)評：本題考查n次獨(dú)立重復(fù)實(shí)驗(yàn)中恰好發(fā)生k次的概率，等可能事件的概率，所求的事件與它的對立事件概率間的關(guān)系，
得到每1名學(xué)生成績不低于130的概率為  p=0.3，是解題的關(guān)鍵．