過半徑為R的球面上一點M作三條兩兩垂直的弦MA、MB和MC.

(1)求證:MA2+MB2+MC2為定值;

(2)求三棱錐M-ABC的最大值.

答案:
解析:

  (1)取小圓的直徑MN,連結(jié)BC、AN、O.∵MB⊥MC,∴BC為圓M直徑;MA⊥MB且MA⊥MC,可得MA⊥平面MBC,∴MA∥O且MA⊥MN ∴AN是大圓O的直徑.

  由球的截面性質(zhì)可得:

O2=OM2-M2 OMA

MBC=

  ∴(MA)2=R2-() ∴MA2+MB2+MC2=4R2為定值,

  (2)V=×MB×MC×MA

  ∴V2MA2MB2MC2

  ∴V≤

  當且僅當MA=MB=MC時等號成立.


練習冊系列答案
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