Question

已知直線l為經過橢圓：

x2

a2

+

y2

b2

=1的左焦點F₁，F₂（c，0）是橢圓的右焦點，若直線AB與橢圓交于A，B兩點，試求△AF₂B面積的最大值．

Answer 1

考點：橢圓的簡單性質

專題：圓錐曲線的定義、性質與方程

分析：設直線l的方程為my=x+c，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．把直線方程與橢圓方程聯立化為（a²+b²m²）y²-2b²mcy-b⁴=0，利用根與系數的關系可得|y₁-y₂|=

(y1+y2)2-4y1y2

=

2b2

a2+b2m2

．利用△AF₂B面積S=

1

2

•2c•|y1-y2|與不等式的性質即可得出．

解答： 解：設直線l的方程為my=x+c，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
聯立

my=x+c x2 a2 + y2 b2 =1

，化為（a²+b²m²）y²-2b²mcy-b⁴=0，
y₁+y₂=

2b2mc

a2+b2m2

，y₁y₂=-

b4

a2+b2m2

．
∴|y₁-y₂|=

(y1+y2)2-4y1y2

=

( 2b2cm a2+b2m2 )2+ 4b4 a2+b2m2

=

2ab2 1+m2

a2+b2m2

．
∴△AF₂B面積S=

1

2

•2c•|y1-y2|=

2ab2c 1+m2

a2+b2m2

，
設

1+m2

=t≥1，則m²=t²-1．
∴S=

2ab2ct

a2+b2(t2-1)

=

2ab2c

c2 t +b2t

≤

2ab2c

2 c2 t •b2t

=ab，當且僅當|t|=

c

b

．
當且僅當直線l經過短軸的一個端點時取等號．
∴△AF₂B面積的最大值是ab．

點評：本題考查了橢圓的標準方程及其性質、弦長公式、三角形的面積計算公式、不等式的性質，考查了推理能力與計算能力，屬于難題．