Question

如圖，在底面是菱形的四棱錐P－ABCD中，∠ABC＝60°，PA＝AC＝a，PB＝PD＝a，點(diǎn)E在PD上，且PE∶ED＝2∶1．

(1)證明PA⊥平面ABCD．

(2)在棱PC上是否存在一點(diǎn)F，使BF∥平面AEC？

Answer 1

答案：
解析：

證明：(1)∵ABCD是菱形，∠ABC＝60°， 　　∴AB＝AD＝AC＝a． 　　在△PAB中，由PA2＋AB2＝2a2＝PB2， 　　∴PA⊥AB．同理，PA⊥AD． 　　∴PA⊥平面ABCD． 　　(2)如圖，以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線AD、AP分別為y軸、z軸，過A點(diǎn)垂直平面PAD的直線為x軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則由已知得 　　A(0，0，0)，B(a，－a，0)，C(，0)，D(0，a，0)，P(0，0，a)，E(0，a，a)， 　　∴＝(0，a，a)，＝(a，a，0)，＝(0，0，a)，＝(，－a)，＝(，a)． 　　設(shè)點(diǎn)F是棱PC上的點(diǎn)，＝λ＝(aλ，aλ，－aλ)，其中0＜λ＜1． 　　＝＋＝((λ－1)，a(1＋λ)，a(1－λ))， 　　令＝λ1＋λ2得 　　 　　即λ＝時(shí)，＝＋，即F是PC的中點(diǎn)時(shí)，、、共面，又BF平面AEC，∴當(dāng)F是棱PC的中點(diǎn)時(shí)，BF∥平面AEC． 　　方法二：設(shè)平面AEC的法向量為n＝(x，y，z)， 　　則 　　令y＝1，則z＝－2，x＝， 　　即n＝(，1，－2)． 　　由BF∥平面AEC，得n⊥． 　　∴·a(λ－1)＋a(1＋λ)＋(－2)a(1－λ)＝0． 　　解得λ＝． 　　即當(dāng)F是棱PC的中點(diǎn)時(shí)，BF∥平面AEC．

提示：

判定線面垂直，可以用判定定理．第(2)問為開放型問題，解決此類問題通常是先假設(shè)符合條件的點(diǎn)存在，然后利用已知條件推理求解．從而得出結(jié)論．