Question

四面體ABCD中，△ABC是正三角形，△BCD是等腰直角三角形，其中BD=DC=

2

，二面角A-BC-D的平面角的余弦值為-

3

3

．
（1）求點(diǎn)A到平面BCD的距離；
（2）設(shè)G是BC的中點(diǎn)，H為△ACD內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)（含邊界），且GH∥平面ABD，求直線AH與平面BCD所成角的正弦值的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：二面角的平面角及求法

專題：空間位置關(guān)系與距離,空間角

分析：（Ⅰ）取BC中點(diǎn)G，∠AGD為二面角A-BC-D的平面角，由已知得A到平面BCD距離即為點(diǎn)A到直線DG的距離，由此能求出A到平面BCD的距離．
（Ⅱ）取DC中點(diǎn)T，AC中點(diǎn)M，則平面GTM∥平面ABD，從而得到H點(diǎn)在線段TM上運(yùn)動(dòng)，AH在面BCD上的斜足軌跡為線段TC，由此能求出直線AH與平面BCD所成角的正弦值的取值范圍．

解答： 解：（Ⅰ）△BCD中，∠D=90°，DB=DC=

2

，故BC=2，…（1分）
取BC中點(diǎn)G，又AC=AB，
∴AG⊥BC，DG⊥BC，…（2分）
∴∠AGD為二面角A-BC-D的平面角，
∴cos∠AGD=-

3

3

，…（3分）
由BC⊥面AGD，得面AGD⊥面BCD，交線為GD．
故A到平面BCD距離即為點(diǎn)A到直線DG的距離．…（4分）
在△AGD中，DG=1，AG=

3

，且cos∠AGD=-

3

3

，…（5分）
∴A到DG的距離為

2

，即A到平面BCD的距離為

2

．…（6分）
（Ⅱ）取DC中點(diǎn)T，AC中點(diǎn)M，則平面GTM∥平面ABD，…（7分）
∴H點(diǎn)在線段TM上運(yùn)動(dòng)…（8分）
于是AH在面BCD上的斜足軌跡為線段TC，
由（Ⅰ）知AD²=（

2

）²+（1+1）²=6，
又AC=2，CD=

2

，
∴∠ACD=90°，…（9分）
故AT=

AC2+CT2

=

9 2

，
設(shè)AH與平面BCD成角為θ，由于點(diǎn)A到面BCD距離為

2

，
故

2

9 2

≤sinθ≤

2

2

，…（11分）
即直線AH與平面BCD所成角的正弦值的取值范圍是[

2

3

，

2

2

]．…（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查點(diǎn)A到平面BCD的距離的求法，考查直線AH與平面BCD所成角的正弦值的取值范圍的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．