Question

某地區(qū)舉行環(huán)保知識(shí)大賽，比賽分初賽和決賽兩部分，初賽采用選用選一題答一題的方式進(jìn)行，每位選手最多有5次選題答題的機(jī)會(huì)，選手累計(jì)答對3題或答錯(cuò)3題即終止其初賽的比賽，答對3題直接進(jìn)入決賽，答錯(cuò)3次者則被淘汰，已知選手甲連續(xù)兩次答錯(cuò)的概率為

1

9

（已知甲回答每個(gè)問題的正確率相同，且相互之間沒有影響）
（I）求甲選手回答一個(gè)問題的正確率；
（II）求選手甲進(jìn)入決賽的概率；
（III）設(shè)選手甲在初賽中的答題的個(gè)數(shù)為ξ，試求ξ的分布列，并求出ξ的數(shù)學(xué)期望．

Answer 1

分析：（I）甲答對一個(gè)問題的正確率為P₁由題意，(1-P 1)2=

1

9

，解方程求出正答率
（II）由題意進(jìn)入決賽至少答對三道題，故進(jìn)行決賽分為三類事件，答對三題入決賽，四題入決賽，五題入決賽，分別算出這三個(gè)事件的概率，求其和即可；
（III）ξ的取值為3，4，5，對應(yīng)的事件分別是前三個(gè)題全部答對，前四個(gè)題答對了三個(gè)，其中第四題一定對，前五個(gè)題答對了三個(gè)，第五個(gè)一定答對，分別求出它們的概率，列出分布列，求出期望．

解答：解：（I）設(shè)甲答對一個(gè)問題的正確率為P₁
由題意：(1-P)2=

1

9

?P=

2

3

所以，甲答對一個(gè)問題的正確率為

2

3

…（3分）
（II）甲答了3道題進(jìn)入決賽的概率為(

2

3

)3=

8

27

甲答了4道題進(jìn)入決賽的概率為

C

2 3

(

2

3

)2(

1

3

)=

8

27

甲答了5道題進(jìn)入決賽的概率為

C

2 4

(

2

3

)3(

1

3

)2=

16

81

故選手甲進(jìn)入決賽的概率為

8

27

+

8

27

+

16

81

=

64

81

所以，選手甲進(jìn)入決賽的概率為

64

81

．…（7分）
（III）ξ的取值為3，4，5，其中
P(ξ=4)=

C

2 3

(

2

3

)3(

1

3

)+

C

2 3

(

1

3

)2•

2

3

•

1

3

=

10

27

P(ξ=5)=

C

2 4

(

2

3

)2(

1

3

)2=

8

27

P(ξ=3)=1-

8

27

-

10

27

=

1

3

所以，ξ的分布列為
其數(shù)學(xué)期望為Eξ=3×

1

3

+4×

10

27

+5×

8

27

=

107

27

點(diǎn)評：本題考查離散型隨機(jī)變量的分布列與期望，解題的關(guān)鍵是根據(jù)概率公式求出分布列，再由求期望的公式求出期望．