設(shè)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽,當(dāng)x<0時(shí),f(x)>1,且對(duì)任意的實(shí)數(shù)x,y∈R,有
f(x+y)=f(x)f(y)
(Ⅰ)求f(0),判斷并證明函數(shù)f(x)的單調(diào)性;
(Ⅱ)數(shù)列{an}滿足a1=f(0),且f(an+1)=
1
f(-2-an)
(n∈N*)

①求{an}通項(xiàng)公式.
②當(dāng)a>1時(shí),不等式
1
an+1
+
1
an+2
+…+
1
a2n
12
35
(loga+1x-logax+1)
對(duì)不小于2的正整數(shù)恒成立,求x的取值范圍.
分析:本題考查的是抽象函數(shù)與數(shù)列的綜合問題.在解答時(shí),對(duì)(Ⅰ)可以先利用特值解得f(0),再利用單調(diào)性的定義判斷函數(shù)的單調(diào)性即可;對(duì)(Ⅱ)因?yàn)閿?shù)列的首項(xiàng)易求,再結(jié)合f(an+1)=
1
f(-2-an)
(n∈N*)
,可知數(shù)列的通項(xiàng)公式為an=2n-1從而①即可解答;對(duì)②利用等差數(shù)列的知識(shí)可求的不等式左邊的和進(jìn)而獲得最小值從而找到有關(guān)x的不等式,最終即可獲得解答.
解答:精英家教網(wǎng)解:(Ⅰ)x,y∈R,f(x+y)=f(x)•f(y),x<0時(shí),f(x)>1
令x=-1,y=0則f(-1)=f(-1)f(0)∵f(-1)>1
∴f(0)=1
若x>0,則f(x-x)=f(0)=f(x)f(-x)
f(x)=
1
f(-x)
∈(0,1)

故x∈Rf(x)>0
任取x1<x2f(x2)=f(x1+x2-x1)=f(x1)f(x2-x1
∵x2-x1>0∴0<f(x2-x1)<1
∴f(x2)<f(x1
故f(x)在R上減函數(shù)

(Ⅱ)①a1=f(0)=1,f(an+1)=
1
f(-2-an)
=f(2+an)

由f(x)單調(diào)性知,an+1=an+2故{an}等差數(shù)列
∴an=2n-1
bn=
1
an+1
+
1
an+2
++
1
a2n
,則bn+1=
1
an+2
+
1
an+3
++
1
a2n+2
bn+1-bn=
1
a2n+1
+
1
a2n+2
-
1
an+1
=
1
4n+1
+
1
4n+3
-
1
2n+1

=
1
(4n+1)(4n+3)(2n+1)
>0,{bn}
是遞增數(shù)列
當(dāng)n≥2時(shí),(bn)min=b2=
1
a3
+
1
a4
=
1
5
+
1
7
=
12
35

12
35
12
35
(loga+1x-logax+1)

即loga+1x-logax+1<1?loga+1x<logax
而a>1,
∴x>1
故x的取值范圍:(1,+∞)
點(diǎn)評(píng):本題考查的是抽象函數(shù)與數(shù)列的綜合問題.在解答的過程當(dāng)中充分體現(xiàn)了抽象函數(shù)特值的思想、數(shù)列求和的思想、恒成立的思想以及解不等式和問題轉(zhuǎn)化的思想.值得同學(xué)們體會(huì)反思.
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設(shè)函數(shù)f(x)的定義在R上的偶函數(shù),且是以4為周期的周期函數(shù),當(dāng)x∈[0,2]時(shí),f(x)=2x-cosx,則a=f(-
3
2
)與b=f(
15
2
)的大小關(guān)系為
a>b
a>b

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镈,若對(duì)于任意x1,x2∈D,當(dāng)x1<x2時(shí),都有f(x1)≤f(x2),則稱函數(shù)f(x)在D上為非減函數(shù).設(shè)函數(shù)f(x)為定義在[0,1]上的非減函數(shù),且滿足以下三個(gè)條件:①f(0)=0;②f(1-x)+f(x)=1,x∈[0,1]; ③當(dāng)x∈[0,
1
4
]
時(shí),f(x)≥2x恒成立.則f(
3
7
)+f(
5
9
)
=
1
1

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設(shè)函數(shù)f(x)的定義在R上的偶函數(shù),且是以4為周期的周期函數(shù),當(dāng)x∈[0,2]時(shí),f(x)=2x-cosx,則a=f(-數(shù)學(xué)公式)與b=f(數(shù)學(xué)公式)的大小關(guān)系為________.

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