Question

15．為響應國家“精準扶貧，產業(yè)扶貧”的戰(zhàn)略，某市面向全市征召《扶貧政策》義務宣傳志愿者，從年齡在[20，45]的500名志愿者中隨機抽取100名，其年齡頻率分布直方圖如圖所示．
（1）求圖中x的值，并根據(jù)頻率分布直方圖估計這500名志愿者中年齡在[35，40）歲的人數(shù)；
（2）在抽出的100名志愿者中按年齡采用分層抽樣的方法抽取10名參加中心廣場的宣傳活動，再從這10名志愿者中選取3名擔任主要負責人．記這3名志愿者中“年齡低于35歲”的人數(shù)為X，求X的分布列及數(shù)學期望．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)小矩形的面積等于頻率，而頻率之和等于0．即可得出x，再用頻率×總體容量即可．
（2）分層抽樣的方法，從100名志愿者中選取10名；則其中年齡“低于35歲”的人有10×（0.01+0.04+0.07）×5=6名，“年齡不低于35歲”的人有4名．X的可能取值為0，1，2，3，再利用超幾何分布即可得出，再利用數(shù)學期望的計算公式即可得出．

解答 解：（1）根據(jù)頻率分布直方圖的性質可得：（0.01+0.02+0.04+x+0.07）×5=1，解得x=0.06．
估計這500名志愿者中年齡在[35，40）歲的人數(shù)=0.06×5×500=150人．
（2）用分層抽樣的方法，從100名志愿者中選取10名，
則其中年齡“低于35歲”的人有6名，
“年齡不低于35歲”的人有4名．
故X的可能取值為0，1，2，3，
P（X=0）=$\frac{{∁}_{4}^{3}}{{∁}_{10}^{3}}$=$\frac{1}{30}$，
P（X=1）=$\frac{{∁}_{6}^{1}{∁}_{4}^{2}}{{∁}_{10}^{3}}$=$\frac{3}{10}$，
P（X=2）=$\frac{{∁}_{6}^{2}{∁}_{4}^{1}}{{∁}_{10}^{3}}$=$\frac{1}{2}$，
P（X=3）=$\frac{{∁}_{6}^{3}}{{∁}_{10}^{3}}$=$\frac{1}{6}$．
故X的分布列為

X	0	1	2	3
P	$\frac{1}{30}$	$\frac{3}{10}$	$\frac{1}{2}$	$\frac{1}{6}$

EX=0×$\frac{1}{30}$+1×$\frac{3}{10}$+2×$\frac{1}{2}$+3×$\frac{1}{6}$=1.8．

點評 本題考查了超幾何的分布列與數(shù)學期望、頻率分布直方圖的性質與分層抽樣，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．