Question

對(duì)于函數(shù)f（x）=sinx+cosx，給出下列四個(gè)命題：
①存在，使； 
②存在，使f（x+α）=f（x+3α）恒成立； 
③存在φ∈R，使函數(shù)f（x+ϕ）的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)；
④函數(shù)f（x）的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng)； 
⑤若，則．
其中正確命題的序號(hào)是    ．

Answer 1

【答案】分析：利用特殊角的三角函數(shù)值及兩角和與差的正弦函數(shù)公式，化簡(jiǎn)函數(shù)y=sinx+cosx為 sin（x+），確定函數(shù)的值域，判斷①的真假； 找出特殊值判斷②；根據(jù)函數(shù)的對(duì)稱(chēng)軸判斷③的真假；將 （π，0）代入函數(shù)解析式成立，說(shuō)明④正確．⑤若，則有 （x+）∈，可得 ，故⑤正確．
解答：解：函數(shù)y=sinx+cosx=sin（x+），①α∈（0，）時(shí) y∈（1，]，因?yàn)?∈（1，]，所以為真命題；
②f（x+α）=f（x+3α）說(shuō)明2α是函數(shù)的周期，函數(shù)f（x）的周期為2π，故α=π，顯然為假命題；
③存在θ∈R使函數(shù)f（x+θ）的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)，
函數(shù)f（x）是周期函數(shù)，并且有對(duì)稱(chēng)軸，適當(dāng)平移即可滿(mǎn)足題意，為真命題；
④函數(shù)f（x）的圖象關(guān)于點(diǎn) （π，0）對(duì)稱(chēng)，當(dāng)x=時(shí)，f（ ）=0，滿(mǎn)足題意，為真命題，
⑤若，則有 （x+）∈，∴，故⑤為真命題，
故答案為 ①③④⑤．
點(diǎn)評(píng)：此題考查了兩角和與差的正弦函數(shù)，正弦函數(shù)的定義域及值域，正弦函數(shù)的對(duì)稱(chēng)性，以及三角函數(shù)的周期性及其求法，要求學(xué)生掌握正弦函數(shù)的圖象及性質(zhì)，能夠充分利用已知條件，靈活利用三角函數(shù)的恒等變形把函數(shù)解析式化為一個(gè)角的正弦函數(shù)是解題的關(guān)鍵，鍛煉了學(xué)生分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力，屬于中檔題．