Question

已知冪函數(shù)f(x)=x-

1

2

p2+p+

3

2

（p∈N）在（0，+∞）上是增函數(shù)，且在定義域上是偶函數(shù)．
（1）求p的值，并寫出相應(yīng)的f（x）的解析式；
（2）對于（1）中求得的函數(shù)f（x），設(shè)函數(shù)g（x）=-qf[f（x）]+（2q-1）f（x）+1，問：是否存在實(shí)數(shù)q（q＜0），使得g（x）在區(qū)間（-∞，-4]上是減函數(shù)，且在區(qū)間（-4，0）（10）上是增函數(shù)？若存在，請求出來；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）因?yàn)閮绾瘮?shù)因?yàn)楹瘮?shù)在（0，+∞）上是增函數(shù)得：得到-

1

2

p²+p+

3

2

＞0，求出p的解集，找出整數(shù)解即可．又因?yàn)楹瘮?shù)是偶函數(shù)得到p的整數(shù)解，最后寫出相應(yīng)的f（x）的解析式；
（2）對于存在性問題，可先假設(shè)存在，即假設(shè)存在實(shí)數(shù)q（q＜0），使得g（x）在區(qū)間（-∞，-4]上是減函數(shù)，且在區(qū)間（-4，0）（10）上是增函數(shù)，再利用復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性，求出q的值，若出現(xiàn)矛盾，則說明假設(shè)不成立，即不存在；否則存在．

解答：解：（1）因?yàn)楹瘮?shù)在（0，+∞）上是增函數(shù)得：
∴-

1

2

p²+p+

3

2

＞0，解得-1＜p＜3
 又因?yàn)閜∈N
則p=0，2
函數(shù)為f(x)=x

3

2

不為偶函數(shù)
則p=1．
故f（x）=x²．
（2）存在．
可設(shè)x²=t
則函數(shù)g（x）=-qf（x）+（2q-1）x²+1=-qt²+（2q-1）t+1，t≥0，
得其對稱軸為t=

2q-1

2q

  又q＜0，所以拋物線開口向上，
g（x）在區(qū)間（-∞，-4）上是減函數(shù)，且在（-4，0）上是增函數(shù)
所以t必須在區(qū)間（16，+∞）上是減函數(shù)，且在（0，16）上是增函數(shù)
又t=x²本身是增函數(shù)，那么對稱軸要等于16
即

2q-1

2q

=16   解得q=-

1

30

滿足（q＜0）的條件． 
所以存在實(shí)數(shù)q（q＜0），使得g（x）在區(qū)間（-∞，-4]上是減函數(shù)，且在區(qū)間（-4，0）（10）上是增函數(shù)．

點(diǎn)評：考查學(xué)生冪函數(shù)的性質(zhì)掌握能力，函數(shù)奇偶性的判斷能力，以及函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用能力．