11．設(shè)函數(shù)f（x）=|x-a|+|2x-a|（a＜0）．
（1）證明：f（x）+f（-$\frac{1}{x}$）≥6；
（2）若不等式f（x）＜$\frac{1}{2}$的解集為非空集，求a的取值范圍．

分析 （1）根據(jù)絕對值的性質(zhì)證明即可；
（2）求出f（x）的解析式，畫出圖象，求出a的范圍即可．

解答 解：（1）f（x）+f（-$\frac{1}{x}$）=（|x-a|+|2x-a|）+（|-$\frac{1}{x}$-a|+|-$\frac{2}{x}$-a|）
=（|x-a|+|-$\frac{1}{x}$-a|）+（|2x-a|+|-$\frac{2}{x}$-a|）≥|（x-a）-（-$\frac{1}{x}$-a）|+|（2x-a）-（-$\frac{2}{x}$-a）|
=|x+$\frac{1}{x}$|+|2x+$\frac{2}{x}$|=|x|+$\frac{1}{|x|}$+|2x|+$\frac{2}{|x|}$≥6（當(dāng)且僅當(dāng)x=±1時取等號）
（2）函數(shù)f（x）=（x-a）+（2x-a）=$\left\{\begin{array}{l}{2a-3，（x≤a）}\\{-x，（a＜x≤\frac{a}{2}}\\{3x-2a，（x＞\frac{2}{a}）}\end{array}\right.$，
圖象如圖所示：

當(dāng)x=$\frac{a}{2}$時，ymin=-$\frac{a}{2}$，依題意：-$\frac{a}{2}$＜$\frac{1}{2}$，解得：a＞-1，
∴a的取值范圍是（-1，0）．

點評 本題考查了絕對值不等式的性質(zhì)，考查函數(shù)最值問題，是一道中檔題．

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

1．已知函數(shù)f（x）=x-1-lnx．
（1）求函數(shù)f（x）的極值；
（2）對?x＞0，f（x）≥bx-2恒成立，求實數(shù)b的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：選擇題

2．如圖，在矩形ABCD中，M是BC的中點，N是CD的中點，若$\overrightarrow{AC}$=λ$\overrightarrow{AM}$+μ$\overrightarrow{BN}$，則λ+μ=（　�。�
A．$\frac{2}{5}$B．$\frac{4}{5}$C．$\frac{6}{5}$D．$\frac{8}{5}$

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

19．已知函數(shù)$f（x）=lnx-\frac{1}{2}a{x}^{2}+x，a∈R$．
（1）當(dāng)a=0時，求函數(shù)f（x）在（1，f（1））處的切線方程；
（2）令g（x）=f（x）-（ax-1），求函數(shù)g（x）的極值；
（3）若a=-2，正實數(shù)x1，x2滿足f（x1）+f（x2）+x1x2=0，證明：${x}_{1}+{x}_{2}≥\frac{\sqrt{5}-1}{2}$．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

6．在公比為2的等比數(shù)列{an}中，a2與a5的等差中項是$9\sqrt{3}$．
（1）求a1的值；
（2）若函數(shù)$y=|{a_1}|sin（\frac{π}{4}x+φ）（|φ|＜π）$的一部分圖象如圖所示，M（-1，|a1|），N（3，-|a1|）為圖象上的兩點，設(shè)∠MPN=β，其中P與坐標(biāo)原點O重合，0＜β＜π，求sin（2φ-β）的值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：選擇題

16．下列說法正確的是（　�。�
A．若命題p，￢q為真命題，則命題p∧q為真命題
B．“若$α=\frac{π}{6}$，則$sinα=\frac{1}{2}$”的否命題是“若$α=\frac{π}{6}$，則$sinα≠\frac{1}{2}$”
C．命題p：“$?{x_0}∈R，x_0^2-{x_0}-5＞0$”的否定￢p：“?x∈R，x2-x-5≤0”
D．若f（x）是定義在R上的函數(shù)，則“f（0）=0”是“函數(shù)f（x）是奇函數(shù)”的充要條件

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3．已知函數(shù)f（x）=ex+ax，g（x）=x•ex+a
（1）若對于任意的實數(shù)x，都有f（x）≥1，求實數(shù)a的取值范圍；
（2）令F（x）=[g（x）-f（x）]，且實數(shù)a≠0，若函數(shù)F（x）存在兩個極值點x1，x2，證明：0＜e2F（x1）＜4且0＜e2F（x2）＜4．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

20．設(shè)定義在R上的函數(shù)f（x）滿足f（2x）=2f（x）+1且，f（1）=2．
（1）求f（0），f（2），f（4）的值；
（2）若f（x）為一次函數(shù)，且g（x）=（x-m）f（x）在（3，+∞）上為增函數(shù)，求m的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：選擇題

12．$f（x）=\frac{1}{2}{x^2}-ax+alnx$有兩個極值點，則a的范圍是（　�。�
A．a＜0B．a＞4C．a＞4或 a＜0D．以上都不對

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