Question

定義在R上的偶函數(shù)f（x）滿足f（x+2）=-f（x），且在[-6，-4]上是增函數(shù)，在銳角△ABC中，令m=f（sinA+sinB），n=f（cosA+cosC），則m和n的大小關(guān)系為（　�。�

• A、m＞n
• B、m＜n
• C、m=n
• D、不能確定大小

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)奇偶性的性質(zhì)

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：首先根據(jù)A、B是銳角三角形的兩個(gè)內(nèi)角，結(jié)合y=sinx在區(qū)間（0，

π

2

）上是增函數(shù)，證出sinA＞cosC．然后根據(jù)偶函數(shù)f（x）滿足f（x+2）=-f（x），可得函數(shù)f（x）是周期為4的函數(shù)，且f（x）在[0，2]上是減函數(shù)．最后比較大�。�

解答： 解：∵A、C是銳角三角形的兩個(gè)內(nèi)角
∴A+C＞

π

2

，可得A＞

π

2

-C，
∵y=sinx在區(qū)間（0，

π

2

）上是增函數(shù)，

π

2

＞A＞

π

2

-C＞0，
∴sinA＞sin（

π

2

-C）=cosC，即銳角三角形的兩個(gè)內(nèi)角A、C是滿足sinA＞cosC，
同理，sinB＞cosA，
∴sinA+sinB＞cosA+cosC，且（sinA+sinB）∈（0，2）與cosA+cosC∈（0，2），
∵函數(shù)f（x）滿足f（x+2）=-f（x），
∴f（x+4）=-f（x+2）=-[-f（x）]=f（x），可得函數(shù)f（x）是周期為4的函數(shù)．
∵f（x）在[-6，-4]上是增函數(shù)，
∴f（x）在[-2，0]上也是增函數(shù)，
再結(jié)合函數(shù)f（x）是定義在R上的偶函數(shù)，可得f（x）在[0，2]上是減函數(shù)．
f（sinA+sinB）＜f（cosA+cosC），
m＜n，
故選：B

點(diǎn)評(píng)：本題以函數(shù)的單調(diào)性與奇偶性為例，考查了銳角三角形的性質(zhì)、函數(shù)的定義域與簡(jiǎn)單性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，屬于中檔題．