Question

已知四棱錐P-ABCD是底面為平行四邊形，面PAB⊥面ABCD，△PAB為正三角形，且AB=

1

2

AD=2，以AD為直徑的圓于BC交于點B，點E，F(xiàn)分別是AD，PC的中點．
（1）求證：EF⊥平面PBD；
（2）求三棱錐C-BEF的體積．

Answer 1

考點：棱柱、棱錐、棱臺的體積,直線與平面垂直的判定

專題：空間位置關(guān)系與距離

分析：（1）取PB的中點為M連結(jié)AM，MF，由已知得AB⊥BD，AM⊥BD，從而AM⊥面PBD，由EF∥AM，能證明EF⊥面PBD．
（2）先求出S_△BEC=

1

2

×BE×EC=2

3

，作PH⊥AB，連結(jié)CH，作FO⊥CH，F(xiàn)O

∥

.

1

2

AH=

3

2

，由此能求出三棱錐C-BEF的體積．

解答： （1）證明：取PB的中點為M連結(jié)AM，MF，因為F為PC的中點，
所以FM

∥

.

1

2

BC，又ABCD是平行四邊形，
E為AD的中點，所以AMFE是平行四邊形，
所以EF∥面PAB，
因為△PAB為正三角形，且AB=

1

2

AD=2，
M是PB的中點，所以AM⊥PB，∠BAD=60°，
所以AB⊥BD，
因為面PAB⊥面ABCD，所以BD⊥平面PAB，
所以AM⊥BD，
又PB∩BD=B，所以AM⊥面PBD．EF∥AM，
所以EF⊥面PBD．
（2）解：由∠EBC=120°-60°=60°，DE=DC，且∠CDE=120°，
得∠ECD=30°，從而∠BEC=90°，
∴S_△BEC=

1

2

×BE×EC=2

3

，
作PH⊥AB，交AB于H，則H是AB中點，連結(jié)CH，作FO⊥CH，交CH于O，
則FO

∥

.

1

2

AH=

3

2

，
∵面PAB⊥面ABCD，∴AH⊥平面ABCD，∴FO⊥平面ABCD，
∴三棱錐C-BEF的體積V=

1

3

×FO×S△BEF=

1

3

×

3

2

×2

3

=1．

點評：本題考查異面直線垂直的證明，考查三棱錐的體積的求法，是中檔題，解題時要注意空間思維能力的培養(yǎng)．