Question

設向量，定義一種向量積．
已知向量，，點為的圖象上的動點，點為的圖象上的動點，且滿足（其中為坐標原點）．
（1）請用表示；    
（2）求的表達式并求它的周期；
（3）把函數(shù)圖象上各點的橫坐標縮小為原來的倍（縱坐標不變），得到函數(shù)的圖象.設函數(shù)，試討論函數(shù)在區(qū)間內的零點個數(shù).

Answer 1

（1）;（2）;（3）當或時，函數(shù)在區(qū)間內只有一個零點；當時，函數(shù)在區(qū)間內有兩個零點；當或時，函數(shù)在區(qū)間內沒有零點.

解析試題分析：解題思路：（1)利用定義的運算用表示即可；（2）根據(jù)圖像變換得到的解析式，(3)得出的單調區(qū)間，討論零點個數(shù)即可.規(guī)律總結：（1）對于新定義題目，要真正理解定義，想法與所學知識聯(lián)系，是解決新定義題目的關鍵；（2）討論零點個數(shù)，即討論圖像與軸的交點個數(shù)..
試題解析：（1），
（2），

，即，
所以，它的周期為.
(3)在上單調遞增，在上單調遞減，
又，
當或時，函數(shù)在區(qū)間內只有一個零點；當時，函數(shù)在區(qū)間內有兩個零點；當或時，函數(shù)在區(qū)間內沒有零點.
考點：新定義型題、三角函數(shù)的圖像與性質、函數(shù)的零點.