Question

如圖，橢圓C₂

x2

a2

+ 

y2

b2

=1的焦點(diǎn)為F₁，F(xiàn)₂，|A₁B₁|=

7

，S□B1A1B2A2=2S□B1F1B2F2．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）設(shè)n為過原點(diǎn)的直線，l是與n垂直相交于點(diǎn)P，與橢圓相交于A，B兩點(diǎn)的直線|

OP

|=1，是否存在上述直線l使

OA

•

OB

=0成立？若存在，求出直線l的方程；并說出；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由題意可知a²+b²=7，a=2c，由此能夠求出橢圓C的方程．
（Ⅱ）設(shè)A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），假設(shè)使

OA

•

OB

=0成立的直線l存在．
（i）當(dāng)l不垂直于x軸時，根據(jù)題設(shè)條件能夠推出直線l不存在．
（ii）當(dāng)l垂直于x軸時，滿足|

OP

|=1的直線l的方程為x=1或x=-1，由A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)為(1，

3

2

)，(1，-

3

2

)或(-1，

3

2

)，(-1，-

3

2

)．當(dāng)x=1時，

OA

•

OB

=-

5

4

≠0．當(dāng)x=-1時，

OA

•

OB

=-

5

4

≠0．所以此時直線l也不存在．由此可知，使

OA

•

OB

=0成立的直線l不成立．

解答：解：（Ⅰ）由題意可知a²+b²=7，
∵S_□B1A1B2A2=2S_□B1F1B2F2，
∴a=2c．
解得a²=4，b²=3，c²=1．
∴橢圓C的方程為

x2

4

+

y2

3

=1．
（Ⅱ）設(shè)A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），假設(shè)使

OA

•

OB

=0成立的直線l存在．
（i）當(dāng)l不垂直于x軸時，設(shè)l的方程為y=kx+m，由l與n垂直相交于P點(diǎn)，且|

OP

|=1得

|m|

1+ k2

=1，即m²=k²+1，由

OA

•

OB

=0得x₁x₂+y₁y₂=0，將y=kx+m代入橢圓得（3+4k²）x²+8kmx+（4m²-12）=0，x1+x2=

-8km

3+4k2

，①，x1x2=

4m2-12

3+4k2

，②
0=x₁x₂+y₁y₂=x₁x₂+（kx₁+m）（kx₂+m）=x₁x₂+k²x₁x₂+km（x₁+x₂）+m²
把①②代入上式并化簡得（1+k²）（4m²-12）-8k²m²+m²（3+4k²）=0，③
將m²=1+k²代入③并化簡得-5（k²+1）=0矛盾．即此時直線l不存在．
（ii）當(dāng)l垂直于x軸時，滿足|

OP

|=1的直線l的方程為x=1或x=-1，
由A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)為(1，

3

2

)，(1，-

3

2

)或(-1，

3

2

)，(-1，-

3

2

)．
當(dāng)x=1時，

OA

•

OB

=(1，

3

2

)• (1，-

3

2

)=-

5

4

≠0．
當(dāng)x=-1時，

OA

•

OB

=(-1，

3

2

)• (-1，-

3

2

)=-

5

4

≠0．
∴此時直線l也不存在．
綜上所述，使

OA

•

OB

=0成立的直線l不成立．

點(diǎn)評：本題綜合考查直線和橢圓的位置關(guān)系，解題時要認(rèn)真審題，靈活地運(yùn)用公式．