Question

已知函數(shù)f(x)=

8

x-1

+4，g(x)=|x+1|-

1

3

x-

7

3

，h(x)=

f(x)， x≤-1 g(x)， x＞-1

（1）畫出函數(shù)y=h（x）的圖象；
（2）用單調(diào)性的定義證明：函數(shù)y=f（x）在（-∞，1）上為減函數(shù)．

Answer 1

分析：（1）利用分段函數(shù)進(jìn)行作圖．
（2）利用函數(shù)單調(diào)性的定義進(jìn)行證明．

解答：解：（1）函數(shù)y=h（x）的圖象
當(dāng)x＞-1時(shí)，g(x)=

2

3

x-

4

3

，取點(diǎn)（-1，-2）和（2，0），得射線；
對(duì)f(x)=

8

x-1

+4，取點(diǎn)（-3，-2）和（-1，0），
函數(shù)y=h（x）的圖象如圖所示．

（2）任取x₁，x₂∈（-∞，1），設(shè)x₁＜x₂，
∵f(x)=

8

x-1

+4
則f(x1)-f(x2)=(

8

x1-1

+4)-(

8

x2-1

+4)=

8(x2-x1)

(x1-1)(x2-1)

，
而x₁-1＜0，x₂-1＜0，又x₂-x₁＞0，
∴

8(x2-x1)

(x1-1)(x2-1)

＞0，
即：f（x₁）-f（x₂）＞0．
∴函數(shù)y=f（x）在（-∞，1）上為減函數(shù)．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查函數(shù)圖象的作圖以及利用函數(shù)單調(diào)性的定義證明函數(shù)的單調(diào)性，考查學(xué)生的作圖能力．