Question

已知函數(shù) f（x）=

3

2

sin2x-cos²x-

1

2

，x∈R．
（1）求函數(shù)f（x）的最小正周期和單調(diào)遞減區(qū)間；
（2）設(shè)△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c且c=

3

，f（C）=0．若sinB=2sinA，求a，b的值．

Answer 1

考點：兩角和與差的正弦函數(shù),正弦函數(shù)的單調(diào)性,正弦定理

專題：計算題,三角函數(shù)的圖像與性質(zhì),解三角形

分析：（1）先化簡函數(shù)f（x），再求函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間和最小正周期；
（2）先求C，再利用余弦定理、正弦定理，建立方程，即可求a、b的值．

解答： 解：（1）∵f（x）=

3

2

sin2x-cos²x-

1

2

，x∈R．
=

3

2

sin2x-

1+cos2x

2

-

1

2

=sin（2x-

π

6

）-1
∴T=

2π

2

=π
∴由2kπ+

π

2

≤2x-

π

6

≤2kπ+

3π

2

，k∈Z可解得：x∈[kπ+

π

3

，kπ+

5π

6

]，k∈Z
∴f（x）單調(diào)遞減區(qū)間是：[kπ+

π

3

，kπ+

5π

6

]，k∈Z
（2）f（C）=sin（2C-

π

6

）-1=0，則sin（2C-

π

6

）=1
∵0＜C＜π，
∴C=

π

3

∵sinB=2sinA，
∴由正弦定理可得b=2a①
∵c=

3

，
∴由余弦定理可得c²=a²+b²-ab=3②
由①②可得a=1，b=2．

點評：本題考查三角函數(shù)的化簡，三角函數(shù)的性質(zhì)，考查余弦定理、正弦定理的運用，屬于中檔題．