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14.已成橢圓C:x2a2+y22=1(a>b>0)的離心率為33.其右頂點與上頂點的距離為5,過點P(0,2)的直線l與橢圓C相交于A、B兩點.
(1)求橢圓C的方程;
(2)設(shè)M是AB中點,且Q點的坐標(biāo)為(25,0),當(dāng)QM⊥AB時,求直線l的方程.

分析 (1)橢圓的離心率為33.其右頂點與上頂點的距離為5,列出方程組,求出a=3,b=2,由此能求出橢圓C的方程.
(2)若直線l的斜率不存在,直線方程為x=0;若直線l的斜率存在,設(shè)其方程為y=kx+2,與橢圓方程聯(lián)立{y=kx+2x23+y22=1,得(2+3k2)x2+12kx+6=0,由此利用根的判別式、韋達(dá)定理、直線垂直,結(jié)合已知條件能求出直線l的方程.

解答 解:(1)∵橢圓C:x2a2+y22=1(a>b>0)的離心率為33
其右頂點與上頂點的距離為5,
∴由題意知:{e=ca=33a2+2=5a2=2+c2,解得a=3,b=2
∴橢圓C的方程為:x23+y22=1
(2)①若直線l的斜率不存在,此時M為原點,滿足QM⊥AB,∴方程為x=0;
②若直線l的斜率存在,設(shè)其方程為y=kx+2,A(x1,y1),B(x2,y2),
將直線方程與橢圓方程聯(lián)立{y=kx+2x23+y22=1,得(2+3k2)x2+12kx+6=0,
△=72k2-48>0,x1+x2=12k2+3k2,
設(shè)M(x0,y0),則x0=6k2+3k2,y0=k6k2+3k2+2=42+3k2,
由QM⊥AB,知y0x025k=1,化簡得3k2+5k+2=0,
解得k=-1或k=-23,將結(jié)果代入△=72k2-48>0驗證,舍掉k=-23,
此時,直線l的方程為x+y-2=0,
綜上所述,直線l的方程為x=0或x+y-2=0.

點評 本題考查橢圓方程的求法,考查直線方程的求法,是中檔題,解題時要認(rèn)真審題,注意根的判別式、韋達(dá)定理、直線垂直、橢圓等知識點的合理運用.

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