Question

【題目】求滿足下列條件的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程：

（1）一條漸近線方程為，且與橢圓有相同的焦點(diǎn)；

（2）經(jīng)過(guò)點(diǎn)，且與雙曲線有共同的漸近線．

Answer 1

【答案】（1）；（2）．

【解析】

（1）由題意設(shè)出雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程，根據(jù)漸近線方程和間的關(guān)系求出后可得所求方程；或根據(jù)漸近線方程設(shè)雙曲線方程為，然后由題意求出后得到所求．（2）根據(jù)題意設(shè)雙曲線的方程為，代入點(diǎn)的坐標(biāo)求出后可得所求方程．

（1）方法1：橢圓方程可化為，焦點(diǎn)坐標(biāo)為，

故可設(shè)雙曲線的方程為，其漸近線方程為，

則，

又，

所以可得，，

所以所求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為．

方法2：由于雙曲線的一條漸近線方程為，則另一條漸近線方程為．

故可設(shè)雙曲線的方程為，即，

因?yàn)殡p曲線與橢圓共焦點(diǎn)，

所以，

即，

解得，

所以所求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為．

（2）由題意可設(shè)所求雙曲線方程為，

因?yàn)辄c(diǎn)在雙曲線上，

∴，解得，

所以所求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為．