Question

已知橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)和兩點(diǎn)A（4，1），B（3，2），且橢圓右焦點(diǎn)與上頂點(diǎn)的連線平行于AB．
（Ⅰ）若橢圓經(jīng)過A點(diǎn)，求橢圓C的方程；
（Ⅱ）若橢圓C與線段AB有公共點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用橢圓右焦點(diǎn)與上頂點(diǎn)的連線平行于AB，可得b=c，進(jìn)而a²=b²+c²=2b²，利用橢圓經(jīng)過A點(diǎn)，可求橢圓C的方程；
（Ⅱ）利用兩點(diǎn)式求線段AB所在直線方程與橢圓方程聯(lián)立，根據(jù)橢圓C與線段AB有公共點(diǎn)，可得方程在x∈[3，4]上有解，構(gòu)建函數(shù)g（x），轉(zhuǎn)化為只需a²在函數(shù)g（x）的值域之內(nèi)，從而可得結(jié)論．

解答：解：（Ⅰ）kAB=

2-1

3-4

=-1，因?yàn)闄E圓右焦點(diǎn)與上頂點(diǎn)的連線平行于AB，所以-

b

c

=-1…（2分）
∴b=c，∴a²=b²+c²=2b²，故橢圓C可化簡(jiǎn)為x²+2y²=a²…（4分）
又橢圓經(jīng)過A點(diǎn)，則a²=4²+2=18，故橢圓C的方程為

x2

18

+

y2

9

=1…（6分）
（Ⅱ）∵A（4，1），B（3，2），
∴

y-2

1-2

=

x-3

4-3

∴線段AB所在直線方程為y=-x+5（3≤x≤4）…（7分）
由（Ⅰ）知橢圓C為x²+2y²=a²，
聯(lián)立

x2+2y2=a2 y=-x+5

，消去y并整理得：3x²-20x+50-a²=0…（&）
由于橢圓C與線段AB有公共點(diǎn)，即方程（&）在x∈[3，4]上有解
（&）式可變形為a²=3x²-20x+50，令g（x）=3x²-20x+50，x∈[3，4]
則只需a²在函數(shù)g（x）的值域之內(nèi)，∴g(x)∈[g(

10

3

)，g(4)]=[

50

3

，18]，
故a2∈[

50

3

，18]，a∈[

5 6

3

，3

2

]．…（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查直線與橢圓的位置關(guān)系，考查函數(shù)的值域，聯(lián)立方程，轉(zhuǎn)化為方程在x∈[3，4]上有解是關(guān)鍵．