Question

已知各項(xiàng)全不為零的數(shù)列{a_k}的前k項(xiàng)和為S_k，且S_k=

1

2

akak+1(k∈N^*），其中a₁=1．
（1）求數(shù)列{a_k}的通項(xiàng)公式；
（2）集合M={x|x=[

a 2 k

2012

]，1≤ak≤2011，k∈N}，其中[x]表示不大于x的最大整數(shù)，求集合M的元素個(gè)數(shù)的值．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的應(yīng)用

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）根據(jù)已知條件可得由ak=Sk-Sk-1=

1

2

akak+1-

1

2

ak-1ak，a_k+1-a_k-1=2．判斷即可．
（2）根據(jù)bk=

k2

2012

，1≤k≤2011，顯然數(shù)列{[b_n]}中有部分項(xiàng)是重復(fù)的．運(yùn)用規(guī)律求解，結(jié)合不等式判斷求解．

解答： 解：（1）當(dāng)k=1，由a1=S1=

1

2

a1a2及a₁=1，得a₂=2．
當(dāng)k≥2時(shí)，由ak=Sk-Sk-1=

1

2

akak+1-

1

2

ak-1ak，
得a_k（a_k+1-a_k-1）=2a_k．
因?yàn)閍_k≠0，所以a_k+1-a_k-1=2．
從而a_2m-1=1+（m-1）•2=2m-1．a(chǎn)_2m=2+（m-1）•2=2m，m∈N^*．
故ak=k(k∈N*)．
（2）令bk=

k2

2012

，1≤k≤2011，
顯然數(shù)列{[b_n]}中有部分項(xiàng)是重復(fù)的．
當(dāng)b_k+1-b_k≤1時(shí)，[b_k]=[b_k+1]或[b_k]+1=[b_k+1]．
由b_k+1-b_k≤1得k≤1005，
即數(shù)列[b₁]，[b₂]，…，[b₁₀₀₆]為每相鄰兩項(xiàng)的差不超過(guò)1的不減數(shù)列．
由[b₁]=0，[b₁₀₀₆]=503，故[b₁]，[b₂]，…，[b₁₀₀₆]中有504個(gè)不同的數(shù)．
當(dāng)b_k+1-b_k＞1時(shí)，[b_k]＜[b_k+1]．
所以數(shù)列[b₁₀₀₇]，[b₁₀₀₈]，…，[b₂₀₁₁]是每相鄰兩項(xiàng)的差不小于1的單調(diào)遞增數(shù)列，故[b₁₀₀₇]，
[b₁₀₀₈]，…，[b₂₀₁₁]中共有1005個(gè)不同的數(shù)．
綜上，集合M中共有1509個(gè)元素

點(diǎn)評(píng)：本題考查了數(shù)列的實(shí)際應(yīng)用，屬于難題．