【題目】設(shè)為數(shù)列的前項(xiàng)和，對(duì)任意的，都有，數(shù)列滿足， .

（1）求證：數(shù)列是等比數(shù)列，并求的通項(xiàng)公式；

（2）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；

（3）求數(shù)列的前項(xiàng)和.

【答案】(1) 證明見解析， ；（2）；（3）.

【解析】試題分析: （1）由可得，兩式相減可得數(shù)列是等比數(shù)列，進(jìn)而可求求的通項(xiàng)公式；（2），∴，即.

∴是首項(xiàng)為，公差為1的等差數(shù)列，從而可得數(shù)列的通項(xiàng)公式；（3）有（1）、（2）可得，利用錯(cuò)位相減法可得結(jié)果.

試題解析:（1）當(dāng)時(shí)， ，解得，

當(dāng)時(shí)， ，即，

∴.

∴數(shù)列是首項(xiàng)為1，公比為的等比數(shù)列，即.

（2）.

∵，∴，即.

∴是首項(xiàng)為，公差為1的等差數(shù)列.

∴，即.

（3），則.

所以，①

則，②

②-①得，

故.

【易錯(cuò)點(diǎn)晴】本題主要考查等差數(shù)列、等比數(shù)列、“錯(cuò)位相減法”求數(shù)列的和，以及不等式恒成立問題，屬于難題. “錯(cuò)位相減法”求數(shù)列的和是重點(diǎn)也是難點(diǎn)，利用“錯(cuò)位相減法”求數(shù)列的和應(yīng)注意以下幾點(diǎn)：①掌握運(yùn)用“錯(cuò)位相減法”求數(shù)列的和的條件（一個(gè)等差數(shù)列與一個(gè)等比數(shù)列的積）；②相減時(shí)注意最后一項(xiàng) 的符號(hào)；③求和時(shí)注意項(xiàng)數(shù)別出錯(cuò)；④最后結(jié)果一定不能忘記等式兩邊同時(shí)除以.

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)．

（1）若，且在上單調(diào)遞增，求實(shí)數(shù)的取值范圍；

（2）是否存在實(shí)數(shù)，使得函數(shù)在上的最小值為1？若存在，求出實(shí)數(shù)的值；若不存在，請(qǐng)說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】設(shè)函數(shù)f(x)=sin(2x+φ)(-π<φ<0),y=f(x)圖象的一條對(duì)稱軸是直線

(1)求φ；

(2)求函數(shù)y=f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間；

(3)求函數(shù)y=f(x)在區(qū)間上的值域。

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】《中國(guó)好聲音（）》是由浙江衛(wèi)視聯(lián)合星空傳媒旗下燦星制作強(qiáng)力打造的大型勵(lì)志專業(yè)音樂評(píng)論節(jié)目，于2012年7月13日在浙江衛(wèi)視播出.每期節(jié)目有四位導(dǎo)師參加.導(dǎo)師背對(duì)歌手，當(dāng)每位參賽選手演唱完之前有導(dǎo)師為其轉(zhuǎn)身，則該選手可以選擇加入為其轉(zhuǎn)身的導(dǎo)師的團(tuán)隊(duì)中接受指導(dǎo)訓(xùn)練.已知某期《中國(guó)好聲音》中，6位選手唱完后，四位導(dǎo)師為其轉(zhuǎn)身的情況如下表所示：

導(dǎo)師轉(zhuǎn)身人數(shù)（人）

4

3

2

1

獲得相應(yīng)導(dǎo)師轉(zhuǎn)身的選手人數(shù)（人）

1

2

2

1

現(xiàn)從這6位選手中隨機(jī)抽取兩人考查他們演唱完后導(dǎo)師的轉(zhuǎn)身情況.

（1）請(qǐng)列出所有的基本事件；

（2）求兩人中恰好其中一位為其轉(zhuǎn)身的導(dǎo)師不少于3人，而另一人為其轉(zhuǎn)身的導(dǎo)師不多于2人的概率.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知，函數(shù)．

（1）求證：曲線在點(diǎn)處的切線過定點(diǎn)；

（2）若是在區(qū)間上的極大值，但不是最大值，求實(shí)數(shù)的取值范圍；

（3）求證：對(duì)任意給定的正數(shù) ，總存在，使得在上為單調(diào)函數(shù)．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知，函數(shù)．

（1）求證：曲線在點(diǎn)處的切線過定點(diǎn)；

（2）若是在區(qū)間上的極大值，但不是最大值，求實(shí)數(shù)的取值范圍；

（3）求證：對(duì)任意給定的正數(shù) ，總存在，使得在上為單調(diào)函數(shù)．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】設(shè)等差數(shù)列是無窮數(shù)列，且各項(xiàng)均為互不相同的正整數(shù)，其前項(xiàng)和為，數(shù)列滿足.

（1）若，求的值；

（2）若數(shù)列為等差數(shù)列，求；

（3）在（1）的條件下，求證：數(shù)列中存在無窮多項(xiàng)（按原來的順序）成等比數(shù)列.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】某校男女籃球隊(duì)各有10名隊(duì)員，現(xiàn)將這20名隊(duì)員的身高繪制成莖葉圖（單位：）.男隊(duì)員身高在以上定義為“高個(gè)子”，女隊(duì)員身高在以上定義為“高個(gè)子”，其他隊(duì)員定義為“非高個(gè)子”，按照“高個(gè)子”和“非高個(gè)子”用分層抽樣的方法共抽取5名隊(duì)員.

(1)從這5名隊(duì)員中隨機(jī)選出2名隊(duì)員，求這2名隊(duì)員中有“高個(gè)子”的概率；

(2)求這5名隊(duì)員中，恰好男女“高個(gè)子”各1名隊(duì)員的概率.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】若對(duì)于定義在上的連續(xù)函數(shù)，存在常數(shù)（），使得對(duì)任意的實(shí)數(shù)成立，則稱是回旋函數(shù)，且階數(shù)為.

（1）試判斷函數(shù)是否是一個(gè)階數(shù)為1的回旋函數(shù)，并說明理由；

（2）已知是回旋函數(shù)，求實(shí)數(shù)的值；

（3）若回旋函數(shù)（）在恰有100個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的值.

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