Question

在拋物線y²=4x上恒有兩點關于直線y=kx+3對稱，求k的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：設出B、C兩點坐標，得到直線BC方程x=-ky+m，，把直線BC方程與拋物線方程聯(lián)立，化為一元二次方程，由韋達定理求出BC中點，應用中點在對稱軸上，且判別式大于0，可求出k的取值范圍．
解答：解：設B、C關于直線y=kx+3對稱，故可設直線BC方程為x=-ky+m，代入y²=4x，得 y²+4ky-4m=0．
設B（x₁，y₁）、C（x₂，y₂），則 BC中點M（x，y），則y==-2k，x=2k²+m．
∵點M（x，y）在直線l上，∴-2k=k（2k²+m）+3，∴m=-．
又∵BC與拋物線交于不同兩點，∴△=16k²+16m＞0．
把m代入化簡得＜0，即＜0，解得-1＜k＜0．
點評：本題考查點關于線的對稱問題，兩條直線垂直的性質，中點公式的應用，屬于中檔題．