Question

我們把一系列向量（i=1，2，…，n）按次序排成一列，稱之為向量列，記作{}．已知向量列{}滿足：，=（n≥2）．
（1）證明數(shù)列{||}是等比數(shù)列；
（2）設(shè)θ_n表示向量，間的夾角，若b_n=2nθ_n-1，S_n=b₁+b₂+…+b_n，求S_n；
（3）設(shè)||•log₂||，問數(shù)列{c_n}中是否存在最小項(xiàng)？若存在，求出最小項(xiàng)；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）由=||，知數(shù)列{}是等比數(shù)列．
（2）由cosθ_n==，知，由此能求出求S_n．
（3）由||=，知．假設(shè){c_n}中的第n項(xiàng)最小，由，c₂=0，能夠推導(dǎo)出數(shù)列{c_n}中存在最小項(xiàng)，最小項(xiàng)是．
解答：解：（1）…（1分）
=||，∴數(shù)列{}是等比數(shù)列…（3分）
（2）∵cosθ_n==…（5分）
∴，∴…（7分）
∴…（8分）
（3）∵||=∴…（10分）
假設(shè){c_n}中的第n項(xiàng)最小，由，c₂=0，∴0≤c₂＜c₁…（11分）
當(dāng)n≥3時(shí)，有c_n＜0，由c_n≤c_n+1
得  
即，n²-6n+7≥0，或（舍），
∴n≥5
即有c₅＜c₆＜c₇＜…；                                   …（13分）
由c_n≥c_n+1，得3≤n≤5，又0≤c₂＜c₁，∴c₅＜c₄＜…＜c₁；…（15分）
故數(shù)列{c_n}中存在最小項(xiàng)，最小項(xiàng)是．…（16分）
點(diǎn)評：本題考查數(shù)列和向量的綜合運(yùn)用，解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，注意挖掘題設(shè)中的隱含條件，合理地進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化．