在平面上，給定非零向量
b
，對任意向量
a
，定義
a′
=
a
-
2(
a
•
b
)
|
b
|2
b
．
（1）若
a
=（2，3），
b
=（-1，3），求
a′
；
（2）若
b
=（2，1），證明：若位置向量
a
的終點在直線Ax+By+C=0上，則位置向量
a′
的終點也在一條直線上；
（3）已知存在單位向量
b
，當(dāng)位置向量
a
的終點在拋物線C：x2=y上時，位置向量
a′
終點總在拋物線C′：y2=x上，曲線C和C′關(guān)于直線l對稱，問直線l與向量
b
滿足什么關(guān)系？
（1）∵
a
=（2，3），
b
=（-1，3），
∴
a
•
b
=7，
|b|
2=10，可得
2(
a
•
b
)
|
b
|2
b
=
2×7
10
（-1，3）=（-
7
5
，
21
5
）
因此
a′
=
a
-
2(
a
•
b
)
|
b
|2
b
=（2，3）-（-
7
5
，
21
5
）=（
17
5
，-
6
5
）；
（2）設(shè)
a
=（x'，y'），終點在直線Ax+By+C=0上
算出
a
•
b
=2x'+y'，
|b|
2=5，
2(
a
•
b
)
|
b
|2
b
=
2(2x′+y′)
5
（2，1）=（
8x′+4y′
5
，
4x′+2y′
5
），
∴
a′
=
a
-
2(
a
•
b
)
|
b
|2
b
=（x'，y'）-（
8x′+4y′
5
，
4x′+2y′
5
）=（
-3x′-4y′
5
，
-4x′+3y′
5
）
因此，若
a′
=（x，y），滿足
x=
-3x′-4y′
5
y=
-4x′+3y′
5
，得到
x′=
-3x-4y
5
y′=
-4x+3y
5

∵點（
-3x-4y
5
，
-4x+3y
5
）在直線Ax+By+C=0上
∴A×
-3x-4y
5
+B×
-4x+3y
5
+C=0，化簡得（3A+4B）x+（4A-3B）y-5C=0，
由A、B不全為零，可得以上方程是一條直線的方程
即向量
a′
的終點也在一條直線上；
（3）∵
b
是單位向量，
∴設(shè)
a
=（x，y），
b
=（cosθ，sinθ），可得
a
•
b
=xcosθ+ysinθ，
所以
a′
=
a
-
2(
a
•
b
)
|
b
|2
b
=
a
-2（xcosθ+ysinθ）
b
=（-xcos2θ-ysin2θ，-2xsin2θ+ycos2θ）
∵
a
的終點在拋物線x2=y上，且
a′
終點在拋物線y2=x上，
∴-xcos2θ-ysin2θ=（-2xsin2θ+ycos2θ）2，
化簡整理，通過比較系數(shù)可得cosθ=
2
2
，sinθ=-
2
2
或cosθ=-
2
2
，sinθ=
2
2

∴
b
=±（
2
2
，
2
2
），
∵曲線C和C′關(guān)于直線l：y=x對稱，
∴l(xiāng)的方向向量
d
=（1，1）．
可得
d
•
b
=0，即
d
⊥
b
，因此直線l與向量
b
垂直．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（上海春卷22）在平面上，給定非零向量
b
，對任意向量
a
，定義
a′
=
a
-
2(
a
•
b
)
|b|
2
b
．
（1）若
a
=(2，3)，
b
=(-1，3)，求
a′
；
（2）若
b
=(2，1)，證明：若位置向量
a
的終點在直線Ax+By+C=0上，則位置向量
a′
的終點也在一條直線上．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2010•上海）在平面上，給定非零向量
b
，對任意向量
a
，定義
a′
=
a
-
2(
a
•
b
)
|
b
|2
b
．
（1）若
a
=（2，3），
b
=（-1，3），求
a′
；
（2）若
b
=（2，1），證明：若位置向量
a
的終點在直線Ax+By+C=0上，則位置向量
a′
的終點也在一條直線上；
（3）已知存在單位向量
b
，當(dāng)位置向量
a
的終點在拋物線C：x2=y上時，位置向量
a′
終點總在拋物線C′：y2=x上，曲線C和C′關(guān)于直線l對稱，問直線l與向量
b
滿足什么關(guān)系？

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