Question

在如圖所示的多面體中，已知正方形ABCD和直角梯形ACEF所在的平面互相垂直，EC⊥AC，EF∥AC，AB=

2

，EF=EC=1，
（1）求證：平面BEF⊥平面DEF；
（2）求二面角A-BF-E的余弦值．

Answer 1

考點(diǎn)：用空間向量求平面間的夾角,平面與平面垂直的判定,二面角的平面角及求法

專(zhuān)題：空間位置關(guān)系與距離,空間角

分析：（1）連接BD交AC于點(diǎn)O，連接FO，由已知得∠BFD是二面角B-EF-D的平面角，由此能證明平面BEF⊥平面DEF．
（2）取BF中點(diǎn)M，BE中點(diǎn)N，連接AM、MN、AN，由已知得∠AMN就是二面角A-BF-E的平面角，由此能求出二面角A-BF-E的余弦值．

解答： （1）證明：∵平面ACEF⊥平面ABCD，EC⊥AC，∴EC⊥平面ABCD．
連接BD交AC于點(diǎn)O，連接FO．
∵正方形ABCD的邊長(zhǎng)為

2

，∴AC=BD=2．
在直角梯形ACEF中，∵EF=EC=1，O為AC中點(diǎn)，
∴FO∥EC，且FO=1，
DF=BF=

2

，DE=BE=

3

．
由勾股定理知 DF⊥EF，BF⊥EF，
∴∠BFD是二面角B-EF-D的平面角．
由BF=DF=

2

，BD=2可知∠BFD=90°，
∴平面BEF⊥平面DEF．
（2）解：取BF中點(diǎn)M，BE中點(diǎn)N，連接AM、MN、AN，
∵AB=BF=AF=

2

，∴AM⊥BF．
又∵M(jìn)N∥EF，EF⊥BF，∴MN⊥BF，
∴∠AMN就是二面角A-BF-E的平面角．
由題意得AM=

3

2

AB=

6

2

，MN=

1

2

EF=

1

2

．
取BC中點(diǎn)P，連接NP，則NP∥EC，
∴NP⊥平面ABCD，連接AP，在Rt△APN中，解得AN²=AP²+NP²=

11

4

，
∴在△AMN中，由余弦定理求得cos∠AMN=-

6

3

，
即二面角A-BF-E的余弦值為-

6

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查平面與平面垂直的證明，考查二面角的余弦值的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．