已知命題“p:?a∈[1,2]|m-5|≤
a2+8
”;命題“q:函數(shù)f(x)=x3+mx2+(m+6)x+1在R上有極值”.求使“p且¬q”為真命題的實(shí)數(shù)m的取值范圍.
考點(diǎn):復(fù)合命題的真假
專題:
分析:對(duì)于命題“p:?a∈[1,2],|m-5|≤
a2+8
”,則|m-5|≤(
a2+8
)min
,求出即可.對(duì)于命題“q:函數(shù)f(x)=x3+mx2+(m+6)x+1在R上有極值”.
則f′(x)=0有兩個(gè)不等的實(shí)根,因此△>0,再利用要使“P且¬Q”為真,即可得出.
解答: 解:對(duì)于命題“p:?a∈[1,2],|m-5|≤
a2+8
”,∴|m-5|≤3,解得2≤m≤8.
對(duì)于命題“q:函數(shù)f(x)=x3+mx2+(m+6)x+1在R上有極值”.
則f′(x)=3x2+2mx+m+6=0有兩個(gè)不等的實(shí)根,
∴△=4m2-12(m+6)>0,即m2-3m-18>0,解得m>6或m<-3.
要使“P且¬Q”為真,只需
2≤m≤8
-3≤m≤6
,
解得2≤m≤6.
點(diǎn)評(píng):本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性極值、二次函數(shù)有零點(diǎn)與判別式的關(guān)系、恒成立問題的等價(jià)轉(zhuǎn)化方法,考查了推理能力和計(jì)算能力,屬于中檔題.
練習(xí)冊(cè)系列答案
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橢圓
x2
9
+
y2
25
=1上一動(dòng)點(diǎn)P到兩焦點(diǎn)距離之和為(  )
A、10B、8C、6D、不確定

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(1)已知函數(shù)f(x)=2x-x2,問方程f(x)=0在區(qū)間[-1,0]內(nèi)是否有解,為什么?
(2)若方程ax2-x-1=0在(0,1)內(nèi)恰有一解,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

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已知函數(shù)f(x)=
1+lnx
x

(1)若函數(shù)f(x)在區(qū)間(2a-1,a+
1
4
)內(nèi)有極值,求實(shí)數(shù)a的取值范圍;
(2)當(dāng)x≥1時(shí),不等式f(x)≥
k
x+1
恒成立,求實(shí)數(shù)k的取值范圍;
(3)求證:[(n+1)!]2>(n+1)e n-2+
2
n+1
(n∈N*,e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù),e≈2.71828…)

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(Ⅰ)求數(shù)列{an}與{bn}的通項(xiàng)公式;
(Ⅱ)求數(shù)列{an•bn}的前n項(xiàng)和Tn

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(1)求a、b的值;
(2)設(shè)函數(shù)f(x)=
g(x)
x
,試判斷f(x)在區(qū)間[2,3]上的單調(diào)性并證明.

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已知雙曲線C1
x2
2
-y2
=1的兩條漸近線方程分別為l1,l2,A,B分別為l1,l2上的兩點(diǎn),|AB|=
2
,且動(dòng)點(diǎn)P滿足
OP
=
OA
+
OB

(Ⅰ)求點(diǎn)P的軌跡方程C2;
(Ⅱ)過點(diǎn)S(0,-
3
5
)且斜率為k的動(dòng)直線l交曲線C2于E,F(xiàn)兩點(diǎn),在y軸上是否存在定點(diǎn)M,使以EF為直徑的圓恒過這個(gè)點(diǎn)?若存在,求出M的坐標(biāo);若不存在,說明理由.

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(2)若函數(shù)在區(qū)間(0,1]上恰有一個(gè)零點(diǎn),求a的取值范圍.

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