Question

如圖，在半徑為2

3

、圓心角為60°的扇形的弧AB上任取一點(diǎn)P，作扇形的內(nèi)接矩形PNMQ，使點(diǎn)Q在OA上，點(diǎn)M，N在OB上，設(shè)矩形PNMQ的面積為y．
（Ⅰ）按下列要求求出函數(shù)關(guān)系式并寫出定義域：
①設(shè)PN=x，將y表示成x的函數(shù)關(guān)系式；
②設(shè)∠POB=θ，將y表示成θ的函數(shù)關(guān)系式．
（Ⅱ）請(qǐng)你選用（Ⅰ）中的一個(gè)函數(shù)關(guān)系式，求y的最大值．

Answer 1

考點(diǎn)：弧度制的應(yīng)用

專題：計(jì)算題,三角函數(shù)的求值

分析：（Ⅰ）①求出MN，PN可將y表示成x的函數(shù)關(guān)系式；②在Rt△PON中，利用直角三角形中的邊角關(guān)系求得 PN=Rsinθ，ON=Rcosθ，以及MQ和OM，可得關(guān)于矩形的面積S的解析式，化簡(jiǎn)可得結(jié)果；
（2）由②得y=6sin2θ-2

3

(1-cos2θ)=4

3

sin(2θ+

π

6

)-2

3

，故當(dāng)θ=

π

6

時(shí)，y取得最大值．

解答： 解：（1）①因?yàn)镼M=PN=x，所以OM=

QM

tan600

=

x

3

，又ON=

12-x2

，
所以MN=ON-OM=

12-x2

-

x

3

，
故y=MN•PN=x•

12-x2

-

3 x2

3

（0＜x＜3），
②當(dāng)∠POB=θ時(shí)，QM=PN=2

3

sinθ，則OM=

QM

tan600

=2sinθ，又ON=2

3

cosθ，
所以MN=ON-OM=2

3

cosθ-2sinθ，
故y=MN•PN=12sinθcosθ-4

3

sin2θ（0＜θ＜

π

3

）；

（2）由②得y=6sin2θ-2

3

(1-cos2θ)=4

3

sin(2θ+

π

6

)-2

3

，
故當(dāng)θ=

π

6

時(shí)，y取得最大值為2

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查直角三角形中的邊角關(guān)系，三角函數(shù)的恒等變換，正弦函數(shù)的定義域和值域，屬于中檔題．