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6.如圖,四邊形ABCD為矩形,四邊形ADEF為梯形,AD∥FE,∠AFE=60°,∠AED=90°,且平面ABCD⊥平面ADEF,AF=FE=AB=12AD=2,點G為AC的中點.
(Ⅰ)求證:平面BAE⊥平面DCE;
(Ⅱ)求三棱錐B-AEG的體積.

分析 (Ⅰ)推導(dǎo)出CD⊥AE,ED⊥AE,從而AE⊥平面DCE,由此能證明平面BAE⊥平面DCE.
(Ⅱ)作EN⊥AD,垂足為N,三棱錐B-AEG的體積為VB-AEG=VE-ABG,由此能求出結(jié)果.

解答 證明:(Ⅰ)∵四邊形ABCD為矩形,且平面ABCD⊥平面AFED,
∴CD⊥平面AFED,∴CD⊥AE,
∵∠AED=90°,∴ED⊥AE,
又∵EO∩CD=D,∴AE⊥平面DCE,
又AE?平面BAE,∴平面BAE⊥平面DCE.…(6分)
解:(Ⅱ)作EN⊥AD,垂足為N,
由平面ABCD⊥平面AFED,平面ABCD∩平面AFED=AD.
得EN⊥平面ABCD,即EN為三棱錐E-ABG的高.
∵在△AEF中,AF=FE,∠AFE=60°,∴△AEF是正三角形,AE=2,
由EF∥AD,知∠EAD=60°,∴EN=AE•sin60°=\sqrt{3},
∴三棱錐B-AEG的體積為:
{V_{B-AEG}}={V_{E-ABG}}=\frac{1}{3}{S_{△ABG}}•EN=\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×2×2×\sqrt{3}=\frac{{2\sqrt{3}}}{3}.…••(12分)

點評 本題考查面面垂直的證明,考查三棱錐的體積的求法,是中檔題,解題時要認(rèn)真審題,注意空間思維能力的培養(yǎng).

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