Question

已知{a_n}是首項(xiàng)為a₁=1的等差數(shù)列且滿(mǎn)足a_n+1＞a_n（n∈N^*），等比數(shù)列{b_n}的前三項(xiàng)分別為b₁=a₁+1，b₂=a₂+1，b₃=a₃+3．
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}和{b_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）若數(shù)列{c_n}滿(mǎn)足（a_n+3）c_nlog₂b_n=

1

2

，求數(shù)列{c_n}的前n項(xiàng)和S_n．

Answer 1

分析：（I）設(shè)等差數(shù)列{a_n}的公差為d，由通項(xiàng)公式分別把b₁、b₂、b₃表示出來(lái)，再由等比中項(xiàng)列出方程，求出d的值，再由數(shù)列{a_n}為單調(diào)遞增數(shù)列進(jìn)行取舍，再求出公比q，分別代入對(duì)應(yīng)的通項(xiàng)公式化簡(jiǎn)即可；
（Ⅱ）由（I）和條件求出c_n并裂項(xiàng)，代入數(shù)列{c_n}的前n項(xiàng)和S_n進(jìn)行化簡(jiǎn)．

解答：解：（Ⅰ）設(shè)等差數(shù)列{a_n}的公差為d，
首項(xiàng)a₁=1，b₁=2，b₂=2+d，b₃=4+2d，
∵{b_n}為等比數(shù)列，∴

b

2 2

=b1b3，
即（2+d）²=2（4+2d），解得d=±2，
又∵a_n+1＞a_n，即數(shù)列{a_n}為單調(diào)遞增數(shù)列，
∴d=2，a₂=3，a₃=5，∴a_n=a₁+（n-1）d=2n-1，
則b₁=2，b₂=4，q=2，
∴bn=b1qn-1=2n，
∴a_n=2n-1，bn=2n，
（Ⅱ）由題意得，(an+3)cnlog2bn=

1

2

，再由（1）結(jié)果代入，
變形得cn=

1

2(an+3)log2bn

=

1

2n(2n+2)

=

1

2

(

1

2n

-

1

2n+2

)，
∴S_n=

1

2

(

1

2

-

1

4

)+

1

2

(

1

4

-

1

6

)+

1

2

(

1

6

-

1

8

)+…+

1

2

(

1

2n

-

1

2n+2

)
=

1

2

(

1

2

-

1

2n+2

)=

n

4(n+1)

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了等差（等比）數(shù)列的通項(xiàng)公式，以及前n項(xiàng)和公式，裂項(xiàng)相消法求數(shù)列的前n項(xiàng)和等，數(shù)列求和問(wèn)題應(yīng)先求通項(xiàng)公式，根據(jù)其特點(diǎn)再選取對(duì)應(yīng)的求和方法．