Question

（04年福建卷理）（14分）

已知f(x)=(x∈R)在區(qū)間[-1，1]上是增函數(shù)。

（Ⅰ）求實(shí)數(shù)a的值組成的集合A；

（Ⅱ）設(shè)關(guān)于x的方程f(x)=的兩個(gè)非零實(shí)根為x₁、x₂.試問：是否存在實(shí)數(shù)m，使得不等式m²+tm+1≥|x₁-x₂|對任意a∈A及t∈[-1，1]恒成立？若存在，求m的取值范圍；若不存在，請說明理由。

Answer 1

解析：（Ⅰ）f＇(x)== ，

∵f(x)在[-1，1]上是增函數(shù)，

∴f＇(x)≥0對x∈[-1，1]恒成立，

即x²-ax-2≤0對x∈[-1，1]恒成立.        ①

設(shè)(x)=x²-ax-2，

方法一：

①-1≤a≤1，

∵對x∈[-1，1]，f(x)是連續(xù)函數(shù)，且只有當(dāng)a=1時(shí)，f＇(-1)=0以及當(dāng)a=-1時(shí)，f＇(1)=0

∴A={a|-1≤a≤1}.

方法二：

①    或

   0≤a≤1     或   -1≤a≤0

   -1≤a≤1.

∵對x∈[-1，1]，f(x)是連續(xù)函數(shù)，且只有當(dāng)a=1時(shí)，f＇(-1)=0以及當(dāng)a=-1時(shí)，f＇(1)=0

∴A={a|-1≤a≤1}.

（Ⅱ）由=，得x²-ax-2=0，

∵△=a²+8>0

∴x₁，x₂是方程x²-ax-2=0的兩非零實(shí)根，

∴ 從而|x₁-x₂|==.

∵-1≤a≤1，∴|x₁-x₂|=≤3.

要使不等式m²+tm+1≥|x₁-x₂|對任意a∈A及t∈[-1，1]恒成立，

當(dāng)且僅當(dāng)m²+tm+1≥3對任意t∈[-1，1]恒成立，

即m²+tm-2≥0對任意t∈[-1，1]恒成立.        ②

設(shè)g(t)=m²+tm-2=mt+(m²-2)，

方法一：

②

m≥2或m≤-2.

所以，存在實(shí)數(shù)m，使不等式m²+tm+1≥|x₁-x₂|對任意a∈A及t∈[-1，1]恒成立，其取值范圍是{m|m≥2，或m≤-2}.

方法二：

當(dāng)m=0時(shí)，②顯然不成立；

當(dāng)m≠0時(shí)，

 ②或

m≥2或m≤-2.

所以，存在實(shí)數(shù)m，使不等式m²+tm+1≥|x₁-x₂|對任意a∈A及t∈[-1，1]恒成立，其取值范圍是{m|m≥2，或m≤-2}.