Question

已知數列{a_n}為等差數列．
（1）若a₁=3，公差d=1，且a₁²+a₂+a₃+…+a_m≤48，求m的最大值；
（2）對于給定的正整數m，若a₁²+a_m+1²=1，求S=a_m+1+a_m+2+…+a_2m+1的最大值．

Answer 1

【答案】分析：（1）不等式左側可先加上a₁，再減去a₁，構造出一個等差數列前m項和的形式，代入公式求解即可；
（2）由等差數列的前n項和公式可得要求S的最大值，只需求a_m+1+a_2m+1的最大值，設a_m+1+a_2m+1=A，根據等差數列的性質推出A與a₁、a_m+1的關系，代入已知條件，消去a_m+1，得到a₁、A的方程，利用方程有解，即可求出A的范圍，故本題可解．
解答：解：（1）由a₁²+a₂+a₃+…+a_m≤48，
可得：a₁²-a₁+a₁+a₂+a₃+…+a_m≤48，
又a₁=3，d=1，可得：．（4分）
整理得：m²+5m-84≤0，
解得-12≤m≤7，即m的最大值為7．（6分）
（2）解：（8分）
設a_m+1+a_2m+1=A，
則A=a_m+1+a_2m+1+a₁-a₁=a_m+1+2a_m+1-a₁=3a_m+1-a₁．
則，由，可得：10a₁²+2Aa₁+A²-9=0，（10分）
由△=4A²-40（A²-9）≥0，可得：．（12分）
所以．（14分）
點評：本題考查了等差數列的通項公式、前n項和公式及解不等式的有關知識，考查運算能力和推理能力．