Question

記公差d≠0的等差數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，已知a₁＝2＋，S₃＝12＋3．

(1)求數(shù)列{a_n}的通項公式a_n及前n項和S_n；

(2)記b_n＝a_n－，若自然數(shù)n₁，n₂，…，n_k，…滿足1≤n₁＜n₂＜…＜n_k＜…，并且，，…，，…成等比數(shù)列，其中n₁＝1，n₂＝3，求n_k(用k表示)；

(3)試問：在數(shù)列{a_n}中是否存在三項a_r，a_s，a_t(r＜s＜t，r，s，t∈N*)恰好成等比數(shù)列？若存在，求出此三項；若不存在，請說明理由．

Answer 1

答案：
解析：

解：(1)因為a1＝2＋，S3＝3a1＋3d＝12＋3，所以d＝2　　2分 　　所以an＝a1＋(n－1)d＝2n＋　　3分 　　Sn＝＝n2＋(＋1)n　　5分 　　(2)因為bn＝an－＝2n，所以＝2nk　　7分 　　又因為數(shù)列{}的首項＝，公比，所以　　9分 　　所以2nk，即nk　　10分 　　(3)假設存在三項ar，as，at成等比數(shù)列，則， 　　即有，整理得　　12分 　　若，則，因為r，s，t∈N*，所以是有理數(shù)，這與為無理數(shù)矛盾　　14分 　　若，則，從而可得r＝s＝t，這與r＜s＜t矛盾． 綜上可知，不存在滿足題意的三項ar，as，at　　16分