Question

在平面直角坐標(biāo)系中，已知橢圓的左焦點(diǎn)為，左、右頂點(diǎn)分別為，上頂點(diǎn)為，過三點(diǎn)作圓 

（Ⅰ）若線段是圓的直徑，求橢圓的離心率；

（Ⅱ）若圓的圓心在直線上，求橢圓的方程;

（Ⅲ）若直線交（Ⅱ）中橢圓于，交軸于，求的最大值 

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）；（Ⅱ）；（Ⅲ）1

【解析】

試題分析：（Ⅰ）利用直徑所對的圓周角是直角建立參數(shù)的關(guān)系，然后求之；（Ⅱ）利用圓心在直線上尋找參數(shù)的關(guān)系，然后求之；（Ⅲ）直線與橢圓的相交問題采用設(shè)而不求的思路，利用坐標(biāo)表示出的表達(dá)式，然后使用基本不等式求解

試題解析：（Ⅰ）由橢圓的方程知，點(diǎn)，，設(shè)F的坐標(biāo)為，

是的直徑，，       2分

解得，橢圓離心率     4分

（Ⅱ）過點(diǎn)三點(diǎn)，

圓心P既在FC的垂直平分線上，也在BC的垂直平分線上，

FC的垂直平分線方程為           ①

的中點(diǎn)為，的垂直平分線方程為  ②

由①②得，即          7分

在直線上，,。

由得，橢圓的方程為          9分

（Ⅲ）由得               （*）

設(shè)，則

        11分

          13分

當(dāng)且僅當(dāng),時取等號。此時方程（*）中的Δ>0,

的最大值為1        13分

考點(diǎn)：直線與橢圓的位置關(guān)系