Question

已知二次函數f（x）=ax²+bx滿足條件：①f（0）=f（1）；  ②f（x）的最小值為-．
（1）求函數f（x）的解析式；
（2）設數列{a_n}的前n項積為T_n，且T_n=（）^f（n），求數列{a_n}的通項公式；
（3）在（2）的條件下，若5f（a_n）是b_n與a_n的等差中項，試問數列{b_n}中第幾項的值最��？求出這個最小值．

Answer 1

【答案】分析：（1）由已知中二次函數f（x）=ax²+bx滿足條件：①f（0）=f（1）；  ②f（x）的最小值為-結合二次函數的性質，我們構造關于a，b的方程，解方程求出a，b的值，即可求出函數f（x）的解析式；
（2）由已知中T_n=（）^f（n），根據a_n=，我們可以求出n≥2時，數列的通項公式，判斷a₁=T₁=1是否符合所求的通項公式，即可得到數列{a_n}的通項公式；
（3）根據等差中項的定義，及5f（a_n）是b_n與a_n的等差中項，我們易判斷數列{b_n}的單調性，進而求出數列{b_n}的最小值，及對應的項數．
解答：解：（1）由題知：，
解得，
故f（x）=x²-x．…（4分）
（2）T_n=a₁•a₂•…•a_n=，
T_n-1=a₁•a₂•…•a_n-1=（n≥2）
∴a_n==（n≥2），
又a₁=T₁=1滿足上式．
所以a_n=．…（9分）（驗證a₁1分）
（3）若5f（a_n）是b_n與a的等差中項，則2×5f（a_n）=b_n+a_n，
從而=b_n+a_n，
b_n=5a_n²-6a_n=．
因為a_n=是n的減函數，所以
當a_n≥，即n≤3時，b_n隨n的增大而減小，此時最小值為b₃；
當a_n＜，即n≥4時，b_n隨n的增大而增大，此時最小值為b₄．
又|a₃-|＜|a₄-|，所以b₃＜b₄，即數列{b_n}中b₃最小，且b₃=-．…（16分）
點評：本題考查的知識點是函數解析式的求解及常用方法，數列的函數特性，等比數列的通項公式，其中熟練掌握數列問題的處理方法，如a_n=，等差中項，是解答本題的關鍵．