已知曲線D：
x=2
2
cosθ
y=2
2
sinθ
與曲線C交于A、B兩點，曲線C是以AB為長軸，離心率為
2
2
的橢圓其交點在x軸上．
（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）設(shè)M是直線x=-4上上的任一點，以O(shè)M為直徑的圓交曲線D于P，Q兩點（O為坐標(biāo)原點）．若直線PQ與橢圓C交于G，H兩點，交x軸于點E，且
1
2
|PQ|=
(2
2
)2-(
2
)2
=
6
．試求此時弦PQ的長．
分析：（1）圓方程由參數(shù)方程可化為x2+y2=8，交x軸于A(-2
2
，0)，B(2
2
，0)，由此能求出橢圓方程．
（2）設(shè)直線x=-4上任一點M（-4，t），則以O(shè)M為直徑的圓方程為x2+y2+4x-ty=0．又⊙O方程為x2+y2=8，所以直線PQ方程為4x-ty=-8．由此入手能夠求出弦PQ的長．
解答：解：（1）圓方程由參數(shù)方程可化為x2+y2=8，
交x軸于A(-2
2
，0)，B(2
2
，0)．
依題意，設(shè)橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1，
則a=2
2
，e=
c
a
=
c
2
2
=
2
2
，
得c=2∴b2=a2-c2=8-4=4
∴橢圓方程為
x2
8
+
y2
4
=1．
（2）設(shè)直線x=-4上任一點M（-4，t），則以O(shè)M為直徑的圓方程為x（x+4）+y（y-t）=0，即x2+y2+4x-ty=0．
又⊙O方程為x2+y2=8，∴直線PQ方程為4x-ty=-8，
令y=0，得x=-2，∴點E的坐標(biāo)為（-2，0）．
由
4x-ty=-8
x2
8
+
y2
4
=1
得（t2+32）y2-16ty-64=0
設(shè)G（x1，y1），H（x2，y2），
則y1+y2=
16t
t2+32
①
y1•y2=-
64
t2+32
②
又
EG
=(x1+2，y1)，
HE
=(-2-x2，-y2)，
EG
=3
HE

∴y1=-3y2③
由①②③解得 t=±4
∴PQ方程：x+y=-2或x-y=-2
∴圓心O到x+y=-2或x-y=-2的距離d=
|2|
2
=
2

∴
1
2
|PQ|=
(2
2
)2-(
2
)2
=
6

∴|PQ|=2
6
即弦PQ的長為2
6
．
點評：本題考查橢圓的方程的求法和求弦長的方法，解題時要認(rèn)真審題，注意參數(shù)方程的轉(zhuǎn)化，靈活運用橢圓的性質(zhì)，合理地進(jìn)行等價轉(zhuǎn)化．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

精英家教網(wǎng)選做題本題包括A，B，C，D四小題，請選定其中 兩題 作答，每小題10分，共計20分，
解答時應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟．
A選修4-1：幾何證明選講
自圓O外一點P引圓的一條切線PA，切點為A，M為PA的中點，過點M引圓O的割線交該圓于B、C兩點，且∠BMP=100°，∠BPC=40°，求∠MPB的大�。�
B選修4-2：矩陣與變換
已知二階矩陣A=
ab
cd
，矩陣A屬于特征值λ1=-1的一個特征向量為α1=
1
-1
，屬于特征值λ2=4的一個特征向量為α2=
3
2
．求矩陣A．
C選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程
在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知曲線C的參數(shù)方程為
x=2cosα
y=sinα
(α為參數(shù))．以直角坐標(biāo)系原點O為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，直線l的極坐標(biāo)方程為ρcos(θ-
π
4
)=2
2
．點
P為曲線C上的動點，求點P到直線l距離的最大值．
D選修4-5：不等式選講
若正數(shù)a，b，c滿足a+b+c=1，求
1
3a+2
+
1
3b+2
+
1
3c+2
的最小值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2012•葫蘆島模擬）選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程．
在平面直角坐標(biāo)系中，曲線C1的參數(shù)方程為
x=acos?
y=bsin?
（a＞b＞0，?為參數(shù)），以Ο為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線C2是圓心在極軸上且經(jīng)過極點的圓，已知曲線C1上的點M（2，
3
）對應(yīng)的參數(shù)φ=
π
3
；θ=
π
4
；與曲線C2交于點D（
2
，
π
4
）
（1）求曲線C1，C2的方程；
（2）A（ρ1，θ），Β（ρ2，θ+
π
2
）是曲線C1上的兩點，求
1
ρ
2
1
+
1
ρ
2
2
的值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2012•包頭一模）在平面直角坐標(biāo)系xoy中，曲線C1的參數(shù)方程為 
x=acosφ
y=bsinφ
（a＞b＞0，?為參數(shù)），在以O(shè)為極點，x軸的正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中，曲線C2是圓心在極軸上，且經(jīng)過極點的圓．已知曲線C1上的點M（1，
3
2
）對應(yīng)的參數(shù)φ=
π
3
，曲線C2過點D（1，
π
3
）．
（Ⅰ）求曲線C1，C2的直角坐標(biāo)方程；
（Ⅱ）若點A（ρ 1，θ），B（ρ 2，θ+
π
2
） 在曲線C1上，求
1
ρ
2
1
+
1
ρ
2
2
的值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

[選做題]在A、B、C、D四小題中只能選做2題，每小題10分，計20分．請把答案寫在答題紙的指定區(qū)域內(nèi)．
A．（選修4-1：幾何證明選講）
過圓O外一點P分別作圓的切線和割線交圓于A，B，且PB=7，∠ABP=∠ABC，C是圓上一點使得BC=5，求線段AB的長．
B．（選修4-2：矩陣與變換）
求曲線C：xy=1在矩陣
2
2
-
2
2
2
2
2
2
對應(yīng)的變換作用下得到的曲線C′的方程．
C．（選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程）
已知曲線C1：
x=3cosθ
y=2sinθ
（θ為參數(shù)）和曲線C2：ρsin（θ-
π
4
）=
2
．
（1）將兩曲線方程分別化成普通方程；
（2）求兩曲線的交點坐標(biāo)．
D．（選修4-5：不等式選講）
已知|x-a|＜
c
4
，|y-b|＜
c
6
，求證：|2x-3y-2a+3b|＜c．

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