Question

在平面直角坐標(biāo)系中，定義（n為正整數(shù)）為點P_n（x_n，y_n）到點P_n+1（x_n+1，y_n+1）的一個變換，將之稱為點變換，已知P₁（0，1），P₂（x₂，y₂），…，P_n+1（x_n+1，y_n+1）…是經(jīng)過點變換得到的一列點，并記a_n為點P_n與P_n+1間的距離，若數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，則S_n為________．

Answer 1

分析：由題設(shè)可求P₁（0，1），P₂（1，1），由已知，可尋求a_n與a_n-1的關(guān)系，可得數(shù)列為等比數(shù)列，利用等比數(shù)列的求和公式，即可得到結(jié)論．
解答：由題設(shè)知P₁（0，1），P₂（1，1），a₁=|P₁P₂|=1，
且當(dāng)n≥2時，a_n²=|P_nP_n+1|²=（x_n+1-x_n）²-（y_n+1-y_n）²=[（y_n-x_n）-x_n]²+[（y_n+x_n）-y_n]²=5x_n²-4x_ny_n+y_n²
a_n-1²=|P_n-1P_n|²=（x_n-x_n-1）²-（y_n-y_n-1）²①
由得 ，
∴
代入①計算化簡得a_n-1²=|P_n-1P_n|²=（）2+（）2=（5x_n²-4x_ny_n+y_n²）=a_n²．
∴=（n≥2），
∴數(shù)列{a_n}是以為公比的等比數(shù)列，且首項a₁=1，
∴a_n=^n-1，
∴S_n=a₁+a₂+a₃+…+a_n=
故答案為：
點評：本題是新定義類型，實際上考查了等比數(shù)列的判定與求和，考查推理、論證、計算能力．探求數(shù)列{a_n}的性質(zhì)并利用得出的性質(zhì)成為一種需求與自然．