Question

如圖，四邊形ABCD是矩形，BC⊥平面ABEF，四邊形ABEF是梯形∠EFA=∠FAB=90°，EF=FA=AD=1，點(diǎn)M是DF的中點(diǎn)，．
（Ⅰ）求證：BF∥平面AMC；
（Ⅱ）求二面角B-AC-E的余弦值．

Answer 1

（Ⅰ）證明：連接BD，交AC于點(diǎn)G，∴點(diǎn)G是BD的中點(diǎn)．
∵點(diǎn)M是DF的中點(diǎn)，∴MG是△BDF的中位線．∴BF∥MG．
∵M(jìn)G?平面AMC，BF?平面AMC，∴BF∥平面AMC．…（5分）
（Ⅱ）解：∵四邊形ABEF是梯形，∠EFA=∠FAB=90°，∴AB⊥AF
又四邊形ABCD是矩形，∴AD⊥AB，又AD∩AF=A，∴AB⊥面ADF
又BC∥AD，∴CD⊥面ADF，∴CD⊥DF．
在Rt△CDM中，，
由CD²+DM²=CM²，可求得AB=CD=2…（6分）
以A為原點(diǎn)，以AF，AB，AD分別為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系．…（7分）

∴A（0，0，0），C（0，2，1），E（1，1，0），F(xiàn)（1，0，0），
∴，，．
設(shè)平面ACE的法向量，
∴，，∴
令x=1，則y=-1，z=2，∴．
又是平面ACB的法向量，∴=．
如圖所示，二面角B-AC-E為銳角，
∴二面角B-AC-E的余弦值是．…（13分）
分析：（Ⅰ）連接BD，交AC于點(diǎn)G，利用三角形中位線的性質(zhì)，可得BF∥MG，利用線面平行的判定，可得BF∥平面AMC；
（Ⅱ）以A為原點(diǎn)，以AF，AB，AD分別為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，確定，平面ACE的法向量，利用向量的夾角公式，即可求得二面角B-AC-E的余弦值．
點(diǎn)評：本題考查線面平行，考查面面角，解題的關(guān)鍵是正確運(yùn)用線面平行的判定，利用空間向量解決空間角問題，屬于中檔題．