Question

【題目】已知函數(shù) ，現(xiàn)有一組數(shù)據(jù)（數(shù)據(jù)量較大），從中隨機(jī)抽取10個(gè)，繪制所得的莖葉圖如圖所示，且莖葉圖中的數(shù)據(jù)的平均數(shù)為2．（莖葉圖中的數(shù)據(jù)均為小數(shù)，其中莖為整數(shù)部分，葉為小數(shù)部分）
（Ⅰ）現(xiàn)從莖葉圖的數(shù)據(jù)中任取4個(gè)數(shù)據(jù)分別替換m的值，
求至少有2個(gè)數(shù)據(jù)使得函數(shù)f（x）沒(méi)有零點(diǎn)的概率；
（Ⅱ）以頻率估計(jì)概率，若從該組數(shù)據(jù)中隨機(jī)抽取4個(gè)數(shù)據(jù)分別替換m的值，記使得函數(shù)f（x）沒(méi)有零點(diǎn)的個(gè)數(shù)為ξ，求ξ的分布列及數(shù)學(xué)期望．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）根據(jù)莖葉圖中的數(shù)據(jù)，計(jì)算平均數(shù)為 = ×（0.3+0.1×a+0.5+1.4+1.9+1.8+2.3+3.2+3.4+4.5）=2，
解得a=7；
從莖葉圖10個(gè)數(shù)據(jù)中任取4個(gè)，有 =210種不同的取法；
函數(shù)f（x）=x2+ 中，
△=2（m﹣1）2﹣m=2m2﹣5m+2，
令△＜0，解得 ＜m＜2，
∴滿足函數(shù)f（x）沒(méi)有零點(diǎn)的數(shù)據(jù)是0.7，1.4，1.8，1.9共4個(gè)；
用抽出的4個(gè)數(shù)分別替換m的值，至少有2個(gè)數(shù)據(jù)使得函數(shù)f（x）沒(méi)有零點(diǎn)的概率為
P=1﹣ ﹣ = ；
（Ⅱ）滿足函數(shù)f（x）沒(méi)有零點(diǎn)的數(shù)據(jù)有4個(gè)，
∴ξ的所有可能取值分別為0，1，2，3，4；
則P（ξ=0）= = ，
P（ξ=1）= = ，
P（ξ=2）= = ，
P（ξ=3）= = ，
P（ξ=4）= = ；
∴ξ的分布列為：

ξ	0	1	2	3	4
P

數(shù)學(xué)期望為Eξ=0× +1× +2× +3× +4× = =1.6
【解析】（Ⅰ）根據(jù)莖葉圖中的數(shù)據(jù)，利用平均數(shù)的定義列方程求出a的值；利用判別式△＜0求出函數(shù)f（x）沒(méi)有零點(diǎn)時(shí)m的取值范圍，再利用對(duì)立事件的概率公式計(jì)算所求的概率值；（Ⅱ）根據(jù)題意知ξ的所有可能取值，求出對(duì)應(yīng)的概率，寫出ξ的分布列，計(jì)算數(shù)學(xué)期望值．
【考點(diǎn)精析】關(guān)于本題考查的莖葉圖和離散型隨機(jī)變量及其分布列，需要了解莖葉圖又稱“枝葉圖”，它的思路是將數(shù)組中的數(shù)按位數(shù)進(jìn)行比較，將數(shù)的大小基本不變或變化不大的位作為一個(gè)主干（莖），將變化大的位的數(shù)作為分枝（葉），列在主干的后面，這樣就可以清楚地看到每個(gè)主干后面的幾個(gè)數(shù)，每個(gè)數(shù)具體是多少；在射擊、產(chǎn)品檢驗(yàn)等例子中，對(duì)于隨機(jī)變量X可能取的值，我們可以按一定次序一一列出，這樣的隨機(jī)變量叫做離散型隨機(jī)變量．離散型隨機(jī)變量的分布列：一般的,設(shè)離散型隨機(jī)變量X可能取的值為x1,x2,.....,xi,......,xn，X取每一個(gè)值 xi(i=1,2,......）的概率P(ξ=xi）＝Pi，則稱表為離散型隨機(jī)變量X 的概率分布，簡(jiǎn)稱分布列才能得出正確答案．