Question

甲烷分子由一個(gè)碳原子和四個(gè)氫原子組成，其空間構(gòu)型為一個(gè)各條棱都相等的四面體，四個(gè)氫原子分別位于該四面體的四個(gè)頂點(diǎn)上，碳原子位于該四面體的中心，它與每個(gè)氫原子的距離都是a，若將碳原子和氫原子均視為一個(gè)點(diǎn)，則任意兩個(gè)氫原子之間的距離為（　　）

• A．

  4

  3

  a
• B．

  2 6

  3

  a
• C．

  7

  2

  a
• D．

  8 3

  9

  a

Answer 1

分析：由題意立即聯(lián)想到正四面體的外接球，而正四面體又可以看作是正方體的六條面對(duì)角線圍成的圖形，因此，將正四面體補(bǔ)成一個(gè)正方體，從而建立相關(guān)量之間的關(guān)系．

解答：解：顯然，四面體的四個(gè)頂點(diǎn)在以中心（碳原子）為球心，中心到各頂點(diǎn)（氫原子）的距離為半徑的球面上，
如圖，將此正四面體ABCD補(bǔ)成正方體BD′，
其中A′、B′、D′也在球面上，
設(shè)任意兩個(gè)氫原子之間的距離為x，則2a=BD′．
 BD′、AB（x）、AA′之間的關(guān)系是x=AB=

2

AA′，2a=BD'=

3

AA′，
 因此

2

2

x=

2 3

3

a，
∴x=

2 6

3

a，即碳原子到各個(gè)氫原子的距離

2 6

3

a．
故選：B

點(diǎn)評(píng)：在立體幾何中，我們常常將四面體補(bǔ)成正四面體或平行六面體、正四面體補(bǔ)成正方體、過(guò)同一個(gè)頂點(diǎn)的三條棱兩兩垂直的四面體補(bǔ)成長(zhǎng)方體、四棱錐補(bǔ)成平行六面體等等，掌握這些補(bǔ)形規(guī)律，有助于提高解題能力．