已知函數(shù)f(x)=2(m+1)x2+4mx+2m-1
(1)當(dāng)m取何值時(shí),函數(shù)的圖象與x軸有兩個(gè)零點(diǎn);
(2)如果函數(shù)至少有一個(gè)零點(diǎn)在原點(diǎn)的右側(cè),求m的值.
分析:(1)將函數(shù)的零點(diǎn)轉(zhuǎn)化為方程的根,二次型方程有兩個(gè)根,令其判別式大于等于0且二次項(xiàng)系數(shù)不為0,列出不等式求出m的范圍.
(2)先判斷二次項(xiàng)系數(shù)為0時(shí)不合題意,再討論原點(diǎn)的兩側(cè)各有一個(gè),令判別式大于0,兩根的積小于0,列出不等式解出m的范圍,討論都在原點(diǎn)的右側(cè),令判別式大于0,兩根的和大于0積也大于0列出不等式求出m的范圍.
解答:解:(1)函數(shù)f(x)的圖象與x軸有兩個(gè)零點(diǎn),即方程2(m+1)x
2+4mx+2m-1=0有兩個(gè)不相等的實(shí)根,
∴
| △=16m2-8(m+1)(2m-1)>0 | 2(m+1)≠0 |
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得m<1且m≠-1
∴當(dāng)m<1且m≠-1時(shí),函數(shù)f(x)的圖象與x軸有兩個(gè)零點(diǎn).
(2)m=-1時(shí),則f(x)=-4x-3
從而由-4x-3=0得
x=-<0∴函數(shù)的零點(diǎn)不在原點(diǎn)的右側(cè),
故m≠-1
當(dāng)m≠-1時(shí),有3種情況:
①原點(diǎn)的兩側(cè)各有一個(gè),則
| △=16m2-8(m+1)(2m-1)>0 | x1x2=<0 |
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解得
-1<m<②都在原點(diǎn)的右側(cè),則
| △=16m2-8(m+1)(2m-1)≥0 | x1+x2=->0 | x1x2=>0 | |
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解得m∈∅
③個(gè)零點(diǎn)在原點(diǎn)右側(cè),一個(gè)零點(diǎn)就是原點(diǎn),此時(shí)必有2m-1=0,即m=
,
此時(shí)方程的另一個(gè)零點(diǎn)為-
,不合題意,
綜①②③可得
m∈(-1,).
點(diǎn)評(píng):解決二次方程的根的個(gè)數(shù)問題利用判別式;解決含參數(shù)的函數(shù)的性質(zhì)問題常需要對(duì)參數(shù)分類討論.