Question

已知函數(shù)f（x）=2（m+1）x²+4mx+2m-1
（1）當(dāng)m取何值時(shí)，函數(shù)的圖象與x軸有兩個(gè)零點(diǎn)；
（2）如果函數(shù)至少有一個(gè)零點(diǎn)在原點(diǎn)的右側(cè)，求m的值．

Answer 1

分析：（1）將函數(shù)的零點(diǎn)轉(zhuǎn)化為方程的根，二次型方程有兩個(gè)根，令其判別式大于等于0且二次項(xiàng)系數(shù)不為0，列出不等式求出m的范圍．
（2）先判斷二次項(xiàng)系數(shù)為0時(shí)不合題意，再討論原點(diǎn)的兩側(cè)各有一個(gè)，令判別式大于0，兩根的積小于0，列出不等式解出m的范圍，討論都在原點(diǎn)的右側(cè)，令判別式大于0，兩根的和大于0積也大于0列出不等式求出m的范圍．

解答：解：（1）函數(shù)f（x）的圖象與x軸有兩個(gè)零點(diǎn)，即方程2（m+1）x²+4mx+2m-1=0有兩個(gè)不相等的實(shí)根，
∴

△=16m2-8(m+1)(2m-1)＞0 2(m+1)≠0

得m＜1且m≠-1
∴當(dāng)m＜1且m≠-1時(shí)，函數(shù)f（x）的圖象與x軸有兩個(gè)零點(diǎn)．
（2）m=-1時(shí)，則f（x）=-4x-3
從而由-4x-3=0得x=-

3

4

＜0
∴函數(shù)的零點(diǎn)不在原點(diǎn)的右側(cè)，
故m≠-1
當(dāng)m≠-1時(shí)，有3種情況：
①原點(diǎn)的兩側(cè)各有一個(gè)，則

△=16m2-8(m+1)(2m-1)＞0 x1x2= 2m-1 2(m+1) ＜0

解得-1＜m＜

1

2

②都在原點(diǎn)的右側(cè)，則

△=16m2-8(m+1)(2m-1)≥0 x1+x2=- 4m 2(m+1) ＞0 x1x2= 2m-1 2(m+1) ＞0

解得m∈∅
③個(gè)零點(diǎn)在原點(diǎn)右側(cè)，一個(gè)零點(diǎn)就是原點(diǎn)，此時(shí)必有2m-1=0，即m=

1

2

，
此時(shí)方程的另一個(gè)零點(diǎn)為-

2

3

，不合題意，
綜①②③可得m∈(-1，

1

2

)．

點(diǎn)評(píng)：解決二次方程的根的個(gè)數(shù)問題利用判別式；解決含參數(shù)的函數(shù)的性質(zhì)問題常需要對(duì)參數(shù)分類討論．